Resolver {l}{7x+y=-9}{-3x-y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + y = - 9 } \\ { - 3 x - y = 5 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-1$$

$$y=-2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$7x+y=-9,-3x-y=5$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$7x+y=-9$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x=-y-9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$x=\frac{1}{7}\left(-y-9\right)$$

Egin \frac{1}{7} bider -y-9.

$$x=-\frac{1}{7}y-\frac{9}{7}$$

Ordeztu \frac{-y-9}{7} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-3x-y=5).

$$-3\left(-\frac{1}{7}y-\frac{9}{7}\right)-y=5$$

Egin -3 bider \frac{-y-9}{7}.

$$\frac{3}{7}y+\frac{27}{7}-y=5$$

Gehitu \frac{3y}{7} eta -y.

$$-\frac{4}{7}y+\frac{27}{7}=5$$

Egin ken \frac{27}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{4}{7}y=\frac{8}{7}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{4}{7} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin x=-\frac{1}{7}y-\frac{9}{7} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{7}\left(-2\right)-\frac{9}{7}$$

Egin -\frac{1}{7} bider -2.

$$x=\frac{2-9}{7}$$

Gehitu -\frac{9}{7} eta \frac{2}{7} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-1,y=-2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$7x+y=-9,-3x-y=5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-\left(-3\right)}&-\frac{1}{7\left(-1\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{7\left(-1\right)-\left(-3\right)}&\frac{7}{7\left(-1\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{4}&-\frac{7}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-9\right)+\frac{1}{4}\times 5\\-\frac{3}{4}\left(-9\right)-\frac{7}{4}\times 5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-1,y=-2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$7x+y=-9,-3x-y=5$$

7x eta -3x berdintzeko, biderkatu -3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 7 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-3\times 7x-3y=-3\left(-9\right),7\left(-3\right)x+7\left(-1\right)y=7\times 5$$

Sinplifikatu.

$$-21x-3y=27,-21x-7y=35$$

Egin -21x-7y=35 ken -21x-3y=27 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-21x+21x-3y+7y=27-35$$

Gehitu -21x eta 21x. Sinplifikatu egiten dira -21x eta 21x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-3y+7y=27-35$$

Gehitu -3y eta 7y.

$$4y=27-35$$

Gehitu 27 eta -35.

$$4y=-8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin -3x-y=5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-3x-\left(-2\right)=5$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3x=3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$x=-1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-1,y=-2$$