Resolver {l}{7x+8y=30}{8x-5y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 8 y = 30 } \\ { 8 x - 5 y = 6 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=2$$

$$y=2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$7x+8y=30,8x-5y=6$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$7x+8y=30$$

Egin ken 8y ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x=-8y+30$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$x=\frac{1}{7}\left(-8y+30\right)$$

Egin \frac{1}{7} bider -8y+30.

$$x=-\frac{8}{7}y+\frac{30}{7}$$

Ordeztu \frac{-8y+30}{7} balioa x balioarekin beste ekuazioan (8x-5y=6).

$$8\left(-\frac{8}{7}y+\frac{30}{7}\right)-5y=6$$

Egin 8 bider \frac{-8y+30}{7}.

$$-\frac{64}{7}y+\frac{240}{7}-5y=6$$

Gehitu -\frac{64y}{7} eta -5y.

$$-\frac{99}{7}y+\frac{240}{7}=6$$

Egin ken \frac{240}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{99}{7}y=-\frac{198}{7}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{99}{7} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin x=-\frac{8}{7}y+\frac{30}{7} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{8}{7}\times 2+\frac{30}{7}$$

Egin -\frac{8}{7} bider 2.

$$x=\frac{-16+30}{7}$$

Gehitu \frac{30}{7} eta -\frac{16}{7} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$7x+8y=30,8x-5y=6$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{7\left(-5\right)-8\times 8}&-\frac{8}{7\left(-5\right)-8\times 8}\\-\frac{8}{7\left(-5\right)-8\times 8}&\frac{7}{7\left(-5\right)-8\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{99}&\frac{8}{99}\\\frac{8}{99}&-\frac{7}{99}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{99}\times 30+\frac{8}{99}\times 6\\\frac{8}{99}\times 30-\frac{7}{99}\times 6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=2,y=2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$7x+8y=30,8x-5y=6$$

7x eta 8x berdintzeko, biderkatu 8 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 7 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$8\times 7x+8\times 8y=8\times 30,7\times 8x+7\left(-5\right)y=7\times 6$$

Sinplifikatu.

$$56x+64y=240,56x-35y=42$$

Egin 56x-35y=42 ken 56x+64y=240 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$56x-56x+64y+35y=240-42$$

Gehitu 56x eta -56x. Sinplifikatu egiten dira 56x eta -56x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$64y+35y=240-42$$

Gehitu 64y eta 35y.

$$99y=240-42$$

Gehitu 240 eta -42.

$$99y=198$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 99 balioarekin.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin 8x-5y=6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$8x-5\times 2=6$$

Egin -5 bider 2.

$$8x-10=6$$

Gehitu 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$8x=16$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=2$$