Resolver {l}{7x+8y=15}{9x+8y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 8 y = 15 } \\ { 9 x + 8 y = 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-7$$

$$y=8$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$7x+8y=15,9x+8y=1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$7x+8y=15$$

Egin ken 8y ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x=-8y+15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$x=\frac{1}{7}\left(-8y+15\right)$$

Egin \frac{1}{7} bider -8y+15.

$$x=-\frac{8}{7}y+\frac{15}{7}$$

Ordeztu \frac{-8y+15}{7} balioa x balioarekin beste ekuazioan (9x+8y=1).

$$9\left(-\frac{8}{7}y+\frac{15}{7}\right)+8y=1$$

Egin 9 bider \frac{-8y+15}{7}.

$$-\frac{72}{7}y+\frac{135}{7}+8y=1$$

Gehitu -\frac{72y}{7} eta 8y.

$$-\frac{16}{7}y+\frac{135}{7}=1$$

Egin ken \frac{135}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{16}{7}y=-\frac{128}{7}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{16}{7} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=8$$

Ordeztu 8 y balioarekin x=-\frac{8}{7}y+\frac{15}{7} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{8}{7}\times 8+\frac{15}{7}$$

Egin -\frac{8}{7} bider 8.

$$x=\frac{-64+15}{7}$$

Gehitu \frac{15}{7} eta -\frac{64}{7} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-7$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-7,y=8$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$7x+8y=15,9x+8y=1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{7\times 8-8\times 9}&-\frac{8}{7\times 8-8\times 9}\\-\frac{9}{7\times 8-8\times 9}&\frac{7}{7\times 8-8\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{9}{16}&-\frac{7}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 15+\frac{1}{2}\\\frac{9}{16}\times 15-\frac{7}{16}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\8\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-7,y=8$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$7x+8y=15,9x+8y=1$$

Egin 9x+8y=1 ken 7x+8y=15 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$7x-9x+8y-8y=15-1$$

Gehitu 8y eta -8y. Sinplifikatu egiten dira 8y eta -8y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$7x-9x=15-1$$

Gehitu 7x eta -9x.

$$-2x=15-1$$

Gehitu 15 eta -1.

$$-2x=14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$x=-7$$

Ordeztu -7 x balioarekin 9x+8y=1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$9\left(-7\right)+8y=1$$

Egin 9 bider -7.

$$-63+8y=1$$

Gehitu 63 ekuazioaren bi aldeetan.

$$8y=64$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$y=8$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-7,y=8$$