Resolver {l}{7x+6y=18}{x=4-y/2}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 6 y = 18 } \\ { x = 4 - \frac { y } { 2 } } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=6$$

$$y=-4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu \frac{y}{2} bi aldeetan.

$$x+\frac{y}{2}=4$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 2.

$$2x+y=8$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$7x+6y=18,2x+y=8$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$7x+6y=18$$

Egin ken 6y ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x=-6y+18$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$x=\frac{1}{7}\left(-6y+18\right)$$

Egin \frac{1}{7} bider -6y+18.

$$x=-\frac{6}{7}y+\frac{18}{7}$$

Ordeztu \frac{-6y+18}{7} balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+y=8).

$$2\left(-\frac{6}{7}y+\frac{18}{7}\right)+y=8$$

Egin 2 bider \frac{-6y+18}{7}.

$$-\frac{12}{7}y+\frac{36}{7}+y=8$$

Gehitu -\frac{12y}{7} eta y.

$$-\frac{5}{7}y+\frac{36}{7}=8$$

Egin ken \frac{36}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{5}{7}y=\frac{20}{7}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{5}{7} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-4$$

Ordeztu -4 y balioarekin x=-\frac{6}{7}y+\frac{18}{7} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{6}{7}\left(-4\right)+\frac{18}{7}$$

Egin -\frac{6}{7} bider -4.

$$x=\frac{24+18}{7}$$

Gehitu \frac{18}{7} eta \frac{24}{7} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=6$$

Ebatzi da sistema.

$$x=6,y=-4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu \frac{y}{2} bi aldeetan.

$$x+\frac{y}{2}=4$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 2.

$$2x+y=8$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$7x+6y=18,2x+y=8$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7-6\times 2}&-\frac{6}{7-6\times 2}\\-\frac{2}{7-6\times 2}&\frac{7}{7-6\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{6}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 18+\frac{6}{5}\times 8\\\frac{2}{5}\times 18-\frac{7}{5}\times 8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-4\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=6,y=-4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu \frac{y}{2} bi aldeetan.

$$x+\frac{y}{2}=4$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 2.

$$2x+y=8$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$7x+6y=18,2x+y=8$$

7x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 7 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 7x+2\times 6y=2\times 18,7\times 2x+7y=7\times 8$$

Sinplifikatu.

$$14x+12y=36,14x+7y=56$$

Egin 14x+7y=56 ken 14x+12y=36 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$14x-14x+12y-7y=36-56$$

Gehitu 14x eta -14x. Sinplifikatu egiten dira 14x eta -14x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$12y-7y=36-56$$

Gehitu 12y eta -7y.

$$5y=36-56$$

Gehitu 36 eta -56.

$$5y=-20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$y=-4$$

Ordeztu -4 y balioarekin 2x+y=8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x-4=8$$

Gehitu 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=6$$

Ebatzi da sistema.

$$x=6,y=-4$$