Resolver {l}{7x+5y=12}{8x-2y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 5 y = 12 } \\ { 8 x - 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{59}{54} = 1\frac{5}{54} \approx 1.092592593$$

$$y=\frac{47}{54}\approx 0.87037037$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$7x+5y=12$$

Egin ken 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x=-5y+12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$x=\frac{1}{7}\left(-5y+12\right)$$

Egin \frac{1}{7} bider -5y+12.

$$x=-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7}$$

Ordeztu \frac{-5y+12}{7} balioa x balioarekin beste ekuazioan (8x-2y=7).

$$8\left(-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7}\right)-2y=7$$

Egin 8 bider \frac{-5y+12}{7}.

$$-\frac{40}{7}y+\frac{96}{7}-2y=7$$

Gehitu -\frac{40y}{7} eta -2y.

$$-\frac{54}{7}y+\frac{96}{7}=7$$

Egin ken \frac{96}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{54}{7}y=-\frac{47}{7}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{54}{7} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{47}{54}$$

Ordeztu \frac{47}{54} y balioarekin x=-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{5}{7}\times \frac{47}{54}+\frac{12}{7}$$

Egin -\frac{5}{7} bider \frac{47}{54}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{235}{378}+\frac{12}{7}$$

Gehitu \frac{12}{7} eta -\frac{235}{378} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{59}{54}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7\left(-2\right)-5\times 8}&-\frac{5}{7\left(-2\right)-5\times 8}\\-\frac{8}{7\left(-2\right)-5\times 8}&\frac{7}{7\left(-2\right)-5\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}&\frac{5}{54}\\\frac{4}{27}&-\frac{7}{54}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}\times 12+\frac{5}{54}\times 7\\\frac{4}{27}\times 12-\frac{7}{54}\times 7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{59}{54}\\\frac{47}{54}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

7x eta 8x berdintzeko, biderkatu 8 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 7 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$8\times 7x+8\times 5y=8\times 12,7\times 8x+7\left(-2\right)y=7\times 7$$

Sinplifikatu.

$$56x+40y=96,56x-14y=49$$

Egin 56x-14y=49 ken 56x+40y=96 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$56x-56x+40y+14y=96-49$$

Gehitu 56x eta -56x. Sinplifikatu egiten dira 56x eta -56x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$40y+14y=96-49$$

Gehitu 40y eta 14y.

$$54y=96-49$$

Gehitu 96 eta -49.

$$54y=47$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 54 balioarekin.

$$y=\frac{47}{54}$$

Ordeztu \frac{47}{54} y balioarekin 8x-2y=7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$8x-2\times \frac{47}{54}=7$$

Egin -2 bider \frac{47}{54}.

$$8x-\frac{47}{27}=7$$

Gehitu \frac{47}{27} ekuazioaren bi aldeetan.

$$8x=\frac{236}{27}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$x=\frac{59}{54}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$