Resolver {l}{7x+3y=4}{2x+4y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 3 y = 4 } \\ { 2 x + 4 y = 8 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-\frac{4}{11}\approx -0.363636364$$

$$y = \frac{24}{11} = 2\frac{2}{11} \approx 2.181818182$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$7x+3y=4,2x+4y=8$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$7x+3y=4$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x=-3y+4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$x=\frac{1}{7}\left(-3y+4\right)$$

Egin \frac{1}{7} bider -3y+4.

$$x=-\frac{3}{7}y+\frac{4}{7}$$

Ordeztu \frac{-3y+4}{7} balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+4y=8).

$$2\left(-\frac{3}{7}y+\frac{4}{7}\right)+4y=8$$

Egin 2 bider \frac{-3y+4}{7}.

$$-\frac{6}{7}y+\frac{8}{7}+4y=8$$

Gehitu -\frac{6y}{7} eta 4y.

$$\frac{22}{7}y+\frac{8}{7}=8$$

Egin ken \frac{8}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{22}{7}y=\frac{48}{7}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{22}{7} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{24}{11}$$

Ordeztu \frac{24}{11} y balioarekin x=-\frac{3}{7}y+\frac{4}{7} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{7}\times \frac{24}{11}+\frac{4}{7}$$

Egin -\frac{3}{7} bider \frac{24}{11}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{72}{77}+\frac{4}{7}$$

Gehitu \frac{4}{7} eta -\frac{72}{77} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{4}{11}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{4}{11},y=\frac{24}{11}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$7x+3y=4,2x+4y=8$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7\times 4-3\times 2}&-\frac{3}{7\times 4-3\times 2}\\-\frac{2}{7\times 4-3\times 2}&\frac{7}{7\times 4-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&-\frac{3}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{7}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 4-\frac{3}{22}\times 8\\-\frac{1}{11}\times 4+\frac{7}{22}\times 8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}\\\frac{24}{11}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{4}{11},y=\frac{24}{11}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$7x+3y=4,2x+4y=8$$

7x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 7 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 7x+2\times 3y=2\times 4,7\times 2x+7\times 4y=7\times 8$$

Sinplifikatu.

$$14x+6y=8,14x+28y=56$$

Egin 14x+28y=56 ken 14x+6y=8 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$14x-14x+6y-28y=8-56$$

Gehitu 14x eta -14x. Sinplifikatu egiten dira 14x eta -14x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$6y-28y=8-56$$

Gehitu 6y eta -28y.

$$-22y=8-56$$

Gehitu 8 eta -56.

$$-22y=-48$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -22 balioarekin.

$$y=\frac{24}{11}$$

Ordeztu \frac{24}{11} y balioarekin 2x+4y=8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x+4\times \frac{24}{11}=8$$

Egin 4 bider \frac{24}{11}.

$$2x+\frac{96}{11}=8$$

Egin ken \frac{96}{11} ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-\frac{8}{11}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=-\frac{4}{11}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{4}{11},y=\frac{24}{11}$$