Resolver {l}{7w+2z=16}{5w=2z+8}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 w + 2 z = 16 } \\ { 5 w = 2 z + 8 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: w, z

$$z=1$$

$$w=2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2z bi aldeetatik.

$$5w-2z=8$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi w. Horretarako, isolatu w berdin ikurraren ezkerraldean.

$$7w+2z=16$$

Egin ken 2z ekuazioaren bi aldeetan.

$$7w=-2z+16$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$w=\frac{1}{7}\left(-2z+16\right)$$

Egin \frac{1}{7} bider -2z+16.

$$w=-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}$$

Ordeztu \frac{-2z+16}{7} balioa w balioarekin beste ekuazioan (5w-2z=8).

$$5\left(-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}\right)-2z=8$$

Egin 5 bider \frac{-2z+16}{7}.

$$-\frac{10}{7}z+\frac{80}{7}-2z=8$$

Gehitu -\frac{10z}{7} eta -2z.

$$-\frac{24}{7}z+\frac{80}{7}=8$$

Egin ken \frac{80}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{24}{7}z=-\frac{24}{7}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{24}{7} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$z=1$$

Ordeztu 1 z balioarekin w=-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, w ebatz dezakezu zuzenean.

$$w=\frac{-2+16}{7}$$

Gehitu \frac{16}{7} eta -\frac{2}{7} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$w=2$$

Ebatzi da sistema.

$$w=2,z=1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2z bi aldeetatik.

$$5w-2z=8$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7\left(-2\right)-2\times 5}&-\frac{2}{7\left(-2\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{7\left(-2\right)-2\times 5}&\frac{7}{7\left(-2\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\\frac{5}{24}&-\frac{7}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{12}\times 8\\\frac{5}{24}\times 16-\frac{7}{24}\times 8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Atera w eta z matrize-elementuak.

$$w=2,z=1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2z bi aldeetatik.

$$5w-2z=8$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

7w eta 5w berdintzeko, biderkatu 5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 7 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5\times 7w+5\times 2z=5\times 16,7\times 5w+7\left(-2\right)z=7\times 8$$

Sinplifikatu.

$$35w+10z=80,35w-14z=56$$

Egin 35w-14z=56 ken 35w+10z=80 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$35w-35w+10z+14z=80-56$$

Gehitu 35w eta -35w. Sinplifikatu egiten dira 35w eta -35w. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$10z+14z=80-56$$

Gehitu 10z eta 14z.

$$24z=80-56$$

Gehitu 80 eta -56.

$$24z=24$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 24 balioarekin.

$$z=1$$

Ordeztu 1 z balioarekin 5w-2z=8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, w ebatz dezakezu zuzenean.

$$5w-2=8$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5w=10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$w=2$$

Ebatzi da sistema.

$$w=2,z=1$$