Resolver {l}{62x+y=44}{34x-y=36}

$$\left. \begin{array} { l } { 62 x + y = 44 } \\ { 34 x - y = 36 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$y = -\frac{23}{3} = -7\frac{2}{3} \approx -7.666666667$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$62x+y=44,34x-y=36$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$62x+y=44$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$62x=-y+44$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 62 balioarekin.

$$x=\frac{1}{62}\left(-y+44\right)$$

Egin \frac{1}{62} bider -y+44.

$$x=-\frac{1}{62}y+\frac{22}{31}$$

Ordeztu -\frac{y}{62}+\frac{22}{31} balioa x balioarekin beste ekuazioan (34x-y=36).

$$34\left(-\frac{1}{62}y+\frac{22}{31}\right)-y=36$$

Egin 34 bider -\frac{y}{62}+\frac{22}{31}.

$$-\frac{17}{31}y+\frac{748}{31}-y=36$$

Gehitu -\frac{17y}{31} eta -y.

$$-\frac{48}{31}y+\frac{748}{31}=36$$

Egin ken \frac{748}{31} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{48}{31}y=\frac{368}{31}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{48}{31} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{23}{3}$$

Ordeztu -\frac{23}{3} y balioarekin x=-\frac{1}{62}y+\frac{22}{31} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{62}\left(-\frac{23}{3}\right)+\frac{22}{31}$$

Egin -\frac{1}{62} bider -\frac{23}{3}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{23}{186}+\frac{22}{31}$$

Gehitu \frac{22}{31} eta \frac{23}{186} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{5}{6}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{5}{6},y=-\frac{23}{3}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$62x+y=44,34x-y=36$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{62\left(-1\right)-34}&-\frac{1}{62\left(-1\right)-34}\\-\frac{34}{62\left(-1\right)-34}&\frac{62}{62\left(-1\right)-34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{96}&\frac{1}{96}\\\frac{17}{48}&-\frac{31}{48}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{96}\times 44+\frac{1}{96}\times 36\\\frac{17}{48}\times 44-\frac{31}{48}\times 36\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\-\frac{23}{3}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{5}{6},y=-\frac{23}{3}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$62x+y=44,34x-y=36$$

62x eta 34x berdintzeko, biderkatu 34 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 62 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$34\times 62x+34y=34\times 44,62\times 34x+62\left(-1\right)y=62\times 36$$

Sinplifikatu.

$$2108x+34y=1496,2108x-62y=2232$$

Egin 2108x-62y=2232 ken 2108x+34y=1496 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2108x-2108x+34y+62y=1496-2232$$

Gehitu 2108x eta -2108x. Sinplifikatu egiten dira 2108x eta -2108x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$34y+62y=1496-2232$$

Gehitu 34y eta 62y.

$$96y=1496-2232$$

Gehitu 1496 eta -2232.

$$96y=-736$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 96 balioarekin.

$$y=-\frac{23}{3}$$

Ordeztu -\frac{23}{3} y balioarekin 34x-y=36 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$34x-\left(-\frac{23}{3}\right)=36$$

Egin ken \frac{23}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$34x=\frac{85}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 34 balioarekin.

$$x=\frac{5}{6}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{5}{6},y=-\frac{23}{3}$$