Resolver {l}{6.5x+y=9}{1.6x+0.2y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 6.5 x + y = 9 } \\ { 1.6 x + 0.2 y = 13 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{112}{3} = 37\frac{1}{3} \approx 37.333333333$$

$$y = -\frac{701}{3} = -233\frac{2}{3} \approx -233.666666667$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$6.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$6.5x+y=9$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$6.5x=-y+9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6.5 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=\frac{2}{13}\left(-y+9\right)$$

Egin \frac{2}{13} bider -y+9.

$$x=-\frac{2}{13}y+\frac{18}{13}$$

Ordeztu \frac{-2y+18}{13} balioa x balioarekin beste ekuazioan (1.6x+0.2y=13).

$$1.6\left(-\frac{2}{13}y+\frac{18}{13}\right)+0.2y=13$$

Egin 1.6 bider \frac{-2y+18}{13}.

$$-\frac{16}{65}y+\frac{144}{65}+0.2y=13$$

Gehitu -\frac{16y}{65} eta \frac{y}{5}.

$$-\frac{3}{65}y+\frac{144}{65}=13$$

Egin ken \frac{144}{65} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{3}{65}y=\frac{701}{65}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{3}{65} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{701}{3}$$

Ordeztu -\frac{701}{3} y balioarekin x=-\frac{2}{13}y+\frac{18}{13} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{2}{13}\left(-\frac{701}{3}\right)+\frac{18}{13}$$

Egin -\frac{2}{13} bider -\frac{701}{3}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{1402}{39}+\frac{18}{13}$$

Gehitu \frac{18}{13} eta \frac{1402}{39} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{112}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{112}{3},y=-\frac{701}{3}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$6.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{6.5\times 0.2-1.6}&-\frac{1}{6.5\times 0.2-1.6}\\-\frac{1.6}{6.5\times 0.2-1.6}&\frac{6.5}{6.5\times 0.2-1.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{10}{3}\\\frac{16}{3}&-\frac{65}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 9+\frac{10}{3}\times 13\\\frac{16}{3}\times 9-\frac{65}{3}\times 13\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{112}{3}\\-\frac{701}{3}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{112}{3},y=-\frac{701}{3}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$6.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

\frac{13x}{2} eta \frac{8x}{5} berdintzeko, biderkatu 1.6 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 6.5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$1.6\times 6.5x+1.6y=1.6\times 9,6.5\times 1.6x+6.5\times 0.2y=6.5\times 13$$

Sinplifikatu.

$$10.4x+1.6y=14.4,10.4x+1.3y=84.5$$

Egin 10.4x+1.3y=84.5 ken 10.4x+1.6y=14.4 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$10.4x-10.4x+1.6y-1.3y=14.4-84.5$$

Gehitu \frac{52x}{5} eta -\frac{52x}{5}. Sinplifikatu egiten dira \frac{52x}{5} eta -\frac{52x}{5}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$1.6y-1.3y=14.4-84.5$$

Gehitu \frac{8y}{5} eta -\frac{13y}{10}.

$$0.3y=14.4-84.5$$

Gehitu 14.4 eta -84.5 izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$0.3y=-70.1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 0.3 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{701}{3}$$

Ordeztu -\frac{701}{3} y balioarekin 1.6x+0.2y=13 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$1.6x+0.2\left(-\frac{701}{3}\right)=13$$

Egin 0.2 bider -\frac{701}{3}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$1.6x-\frac{701}{15}=13$$

Gehitu \frac{701}{15} ekuazioaren bi aldeetan.

$$1.6x=\frac{896}{15}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 1.6 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=\frac{112}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{112}{3},y=-\frac{701}{3}$$