Resolver {l}{6y+4x=27}{x+y=50}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 y + 4 x = 27 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x = \frac{273}{2} = 136\frac{1}{2} = 136.5$$

$$y = -\frac{173}{2} = -86\frac{1}{2} = -86.5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$6y+4x=27,y+x=50$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$6y+4x=27$$

Egin ken 4x ekuazioaren bi aldeetan.

$$6y=-4x+27$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$y=\frac{1}{6}\left(-4x+27\right)$$

Egin \frac{1}{6} bider -4x+27.

$$y=-\frac{2}{3}x+\frac{9}{2}$$

Ordeztu -\frac{2x}{3}+\frac{9}{2} balioa y balioarekin beste ekuazioan (y+x=50).

$$-\frac{2}{3}x+\frac{9}{2}+x=50$$

Gehitu -\frac{2x}{3} eta x.

$$\frac{1}{3}x+\frac{9}{2}=50$$

Egin ken \frac{9}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{1}{3}x=\frac{91}{2}$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{273}{2}$$

Ordeztu \frac{273}{2} x balioarekin y=-\frac{2}{3}x+\frac{9}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=-\frac{2}{3}\times \frac{273}{2}+\frac{9}{2}$$

Egin -\frac{2}{3} bider \frac{273}{2}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y=-91+\frac{9}{2}$$

Gehitu \frac{9}{2} eta -91.

$$y=-\frac{173}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-\frac{173}{2},x=\frac{273}{2}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$6y+4x=27,y+x=50$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-4}&-\frac{4}{6-4}\\-\frac{1}{6-4}&\frac{6}{6-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-2\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 27-2\times 50\\-\frac{1}{2}\times 27+3\times 50\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{173}{2}\\\frac{273}{2}\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=-\frac{173}{2},x=\frac{273}{2}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$6y+4x=27,y+x=50$$

6y eta y berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 6 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$6y+4x=27,6y+6x=6\times 50$$

Sinplifikatu.

$$6y+4x=27,6y+6x=300$$

Egin 6y+6x=300 ken 6y+4x=27 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6y-6y+4x-6x=27-300$$

Gehitu 6y eta -6y. Sinplifikatu egiten dira 6y eta -6y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$4x-6x=27-300$$

Gehitu 4x eta -6x.

$$-2x=27-300$$

Gehitu 27 eta -300.

$$-2x=-273$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$x=\frac{273}{2}$$

Ordeztu \frac{273}{2} x balioarekin y+x=50 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y+\frac{273}{2}=50$$

Egin ken \frac{273}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-\frac{173}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-\frac{173}{2},x=\frac{273}{2}$$