Resolver {l}{6x+5y=5600}{55x+46y=51400}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 5 y = 5600 } \\ { 55 x + 46 y = 51400 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=600$$

$$y=400$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$6x+5y=5600,55x+46y=51400$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$6x+5y=5600$$

Egin ken 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x=-5y+5600$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=\frac{1}{6}\left(-5y+5600\right)$$

Egin \frac{1}{6} bider -5y+5600.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}$$

Ordeztu -\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (55x+46y=51400).

$$55\left(-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}\right)+46y=51400$$

Egin 55 bider -\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3}.

$$-\frac{275}{6}y+\frac{154000}{3}+46y=51400$$

Gehitu -\frac{275y}{6} eta 46y.

$$\frac{1}{6}y+\frac{154000}{3}=51400$$

Egin ken \frac{154000}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{1}{6}y=\frac{200}{3}$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$y=400$$

Ordeztu 400 y balioarekin x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{5}{6}\times 400+\frac{2800}{3}$$

Egin -\frac{5}{6} bider 400.

$$x=\frac{-1000+2800}{3}$$

Gehitu \frac{2800}{3} eta -\frac{1000}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=600$$

Ebatzi da sistema.

$$x=600,y=400$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$6x+5y=5600,55x+46y=51400$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{46}{6\times 46-5\times 55}&-\frac{5}{6\times 46-5\times 55}\\-\frac{55}{6\times 46-5\times 55}&\frac{6}{6\times 46-5\times 55}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46&-5\\-55&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\times 5600-5\times 51400\\-55\times 5600+6\times 51400\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}600\\400\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=600,y=400$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$6x+5y=5600,55x+46y=51400$$

6x eta 55x berdintzeko, biderkatu 55 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 6 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$55\times 6x+55\times 5y=55\times 5600,6\times 55x+6\times 46y=6\times 51400$$

Sinplifikatu.

$$330x+275y=308000,330x+276y=308400$$

Egin 330x+276y=308400 ken 330x+275y=308000 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$330x-330x+275y-276y=308000-308400$$

Gehitu 330x eta -330x. Sinplifikatu egiten dira 330x eta -330x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$275y-276y=308000-308400$$

Gehitu 275y eta -276y.

$$-y=308000-308400$$

Gehitu 308000 eta -308400.

$$-y=-400$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$y=400$$

Ordeztu 400 y balioarekin 55x+46y=51400 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$55x+46\times 400=51400$$

Egin 46 bider 400.

$$55x+18400=51400$$

Egin ken 18400 ekuazioaren bi aldeetan.

$$55x=33000$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 55 balioarekin.

$$x=600$$

Ebatzi da sistema.

$$x=600,y=400$$