Resolver {l}{6x+3y=25.95}{4x+6y=26.70}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 3 y = 25.95 } \\ { 4 x + 6 y = 26.70 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=3.15$$

$$y=2.35$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$6x+3y=25.95,4x+6y=26.7$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$6x+3y=25.95$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x=-3y+25.95$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=\frac{1}{6}\left(-3y+25.95\right)$$

Egin \frac{1}{6} bider -3y+25.95.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{173}{40}$$

Ordeztu -\frac{y}{2}+\frac{173}{40} balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x+6y=26.7).

$$4\left(-\frac{1}{2}y+\frac{173}{40}\right)+6y=26.7$$

Egin 4 bider -\frac{y}{2}+\frac{173}{40}.

$$-2y+\frac{173}{10}+6y=26.7$$

Gehitu -2y eta 6y.

$$4y+\frac{173}{10}=26.7$$

Egin ken \frac{173}{10} ekuazioaren bi aldeetan.

$$4y=\frac{47}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$y=\frac{47}{20}$$

Ordeztu \frac{47}{20} y balioarekin x=-\frac{1}{2}y+\frac{173}{40} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{47}{20}+\frac{173}{40}$$

Egin -\frac{1}{2} bider \frac{47}{20}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{-47+173}{40}$$

Gehitu \frac{173}{40} eta -\frac{47}{40} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{63}{20}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{63}{20},y=\frac{47}{20}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$6x+3y=25.95,4x+6y=26.7$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{6\times 6-3\times 4}&-\frac{3}{6\times 6-3\times 4}\\-\frac{4}{6\times 6-3\times 4}&\frac{6}{6\times 6-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 25.95-\frac{1}{8}\times 26.7\\-\frac{1}{6}\times 25.95+\frac{1}{4}\times 26.7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{63}{20}\\\frac{47}{20}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{63}{20},y=\frac{47}{20}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$6x+3y=25.95,4x+6y=26.7$$

6x eta 4x berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 6 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4\times 6x+4\times 3y=4\times 25.95,6\times 4x+6\times 6y=6\times 26.7$$

Sinplifikatu.

$$24x+12y=103.8,24x+36y=160.2$$

Egin 24x+36y=160.2 ken 24x+12y=103.8 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$24x-24x+12y-36y=\frac{519-801}{5}$$

Gehitu 24x eta -24x. Sinplifikatu egiten dira 24x eta -24x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$12y-36y=\frac{519-801}{5}$$

Gehitu 12y eta -36y.

$$-24y=\frac{519-801}{5}$$

Gehitu 103.8 eta -160.2 izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$-24y=-56.4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -24 balioarekin.

$$y=\frac{47}{20}$$

Ordeztu \frac{47}{20} y balioarekin 4x+6y=26.7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x+6\times \frac{47}{20}=26.7$$

Egin 6 bider \frac{47}{20}.

$$4x+\frac{141}{10}=26.7$$

Egin ken \frac{141}{10} ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=\frac{63}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{63}{20}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{63}{20},y=\frac{47}{20}$$