Resolver {l}{6m-5n=-9}{4m+3n=13(5)}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 m - 5 n = - 9 } \\ { 4 m + 3 n = 13 ( 5 ) } \end{array} \right.$$

Ebatzi: m, n

$$m = \frac{149}{19} = 7\frac{16}{19} \approx 7.842105263$$

$$n = \frac{213}{19} = 11\frac{4}{19} \approx 11.210526316$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi m. Horretarako, isolatu m berdin ikurraren ezkerraldean.

$$6m-5n=-9$$

Gehitu 5n ekuazioaren bi aldeetan.

$$6m=5n-9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$m=\frac{1}{6}\left(5n-9\right)$$

Egin \frac{1}{6} bider 5n-9.

$$m=\frac{5}{6}n-\frac{3}{2}$$

Ordeztu \frac{5n}{6}-\frac{3}{2} balioa m balioarekin beste ekuazioan (4m+3n=65).

$$4\left(\frac{5}{6}n-\frac{3}{2}\right)+3n=65$$

Egin 4 bider \frac{5n}{6}-\frac{3}{2}.

$$\frac{10}{3}n-6+3n=65$$

Gehitu \frac{10n}{3} eta 3n.

$$\frac{19}{3}n-6=65$$

Gehitu 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{19}{3}n=71$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{19}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$n=\frac{213}{19}$$

Ordeztu \frac{213}{19} n balioarekin m=\frac{5}{6}n-\frac{3}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, m ebatz dezakezu zuzenean.

$$m=\frac{5}{6}\times \frac{213}{19}-\frac{3}{2}$$

Egin \frac{5}{6} bider \frac{213}{19}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$m=\frac{355}{38}-\frac{3}{2}$$

Gehitu -\frac{3}{2} eta \frac{355}{38} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$m=\frac{149}{19}$$

Ebatzi da sistema.

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}&\frac{6}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}&\frac{5}{38}\\-\frac{2}{19}&\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}\left(-9\right)+\frac{5}{38}\times 65\\-\frac{2}{19}\left(-9\right)+\frac{3}{19}\times 65\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{149}{19}\\\frac{213}{19}\end{matrix}\right)$$

Atera m eta n matrize-elementuak.

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

6m eta 4m berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 6 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4\times 6m+4\left(-5\right)n=4\left(-9\right),6\times 4m+6\times 3n=6\times 65$$

Sinplifikatu.

$$24m-20n=-36,24m+18n=390$$

Egin 24m+18n=390 ken 24m-20n=-36 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$24m-24m-20n-18n=-36-390$$

Gehitu 24m eta -24m. Sinplifikatu egiten dira 24m eta -24m. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-20n-18n=-36-390$$

Gehitu -20n eta -18n.

$$-38n=-36-390$$

Gehitu -36 eta -390.

$$-38n=-426$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -38 balioarekin.

$$n=\frac{213}{19}$$

Ordeztu \frac{213}{19} n balioarekin 4m+3n=65 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, m ebatz dezakezu zuzenean.

$$4m+3\times \frac{213}{19}=65$$

Egin 3 bider \frac{213}{19}.

$$4m+\frac{639}{19}=65$$

Egin ken \frac{639}{19} ekuazioaren bi aldeetan.

$$4m=\frac{596}{19}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$m=\frac{149}{19}$$

Ebatzi da sistema.

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$