Resolver {l}{500y+150.25x=0}{2990y+225.75x=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 500 y + 150.25 x = 0 } \\ { 2990 y + 225.75 x = 0 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=0$$

$$y=0$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$500y+150.25x=0,2990y+225.75x=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$500y+150.25x=0$$

Egin ken \frac{601x}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$500y=-150.25x$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 500 balioarekin.

$$y=\frac{1}{500}\left(-150.25\right)x$$

Egin \frac{1}{500} bider -\frac{601x}{4}.

$$y=-\frac{601}{2000}x$$

Ordeztu -\frac{601x}{2000} balioa y balioarekin beste ekuazioan (2990y+225.75x=0).

$$2990\left(-\frac{601}{2000}\right)x+225.75x=0$$

Egin 2990 bider -\frac{601x}{2000}.

$$-\frac{179699}{200}x+225.75x=0$$

Gehitu -\frac{179699x}{200} eta \frac{903x}{4}.

$$-\frac{134549}{200}x=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{134549}{200} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=0$$

Ordeztu 0 x balioarekin y=-\frac{601}{2000}x ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=0$$

Ebatzi da sistema.

$$y=0,x=0$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$500y+150.25x=0,2990y+225.75x=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}500&150.25\\2990&225.75\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}500&150.25\\2990&225.75\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}500&150.25\\2990&225.75\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500&150.25\\2990&225.75\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}500&150.25\\2990&225.75\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}500&150.25\\2990&225.75\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}500&150.25\\2990&225.75\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{225.75}{500\times 225.75-150.25\times 2990}&-\frac{150.25}{500\times 225.75-150.25\times 2990}\\-\frac{2990}{500\times 225.75-150.25\times 2990}&\frac{500}{500\times 225.75-150.25\times 2990}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{903}{1345490}&\frac{601}{1345490}\\\frac{1196}{134549}&-\frac{200}{134549}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=0,x=0$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$500y+150.25x=0,2990y+225.75x=0$$

500y eta 2990y berdintzeko, biderkatu 2990 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 500 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2990\times 500y+2990\times 150.25x=0,500\times 2990y+500\times 225.75x=0$$

Sinplifikatu.

$$1495000y+449247.5x=0,1495000y+112875x=0$$

Egin 1495000y+112875x=0 ken 1495000y+449247.5x=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$1495000y-1495000y+449247.5x-112875x=0$$

Gehitu 1495000y eta -1495000y. Sinplifikatu egiten dira 1495000y eta -1495000y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$449247.5x-112875x=0$$

Gehitu \frac{898495x}{2} eta -112875x.

$$336372.5x=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 336372.5 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=0$$

Ordeztu 0 x balioarekin 2990y+225.75x=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$2990y=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2990 balioarekin.

$$y=0$$

Ebatzi da sistema.

$$y=0,x=0$$