Resolver {l}{50x+3y=1}{2x-4y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 50 x + 3 y = 1 } \\ { 2 x - 4 y = 5 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{19}{206}\approx 0.09223301$$

$$y = -\frac{124}{103} = -1\frac{21}{103} \approx -1.203883495$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$50x+3y=1,2x-4y=5$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$50x+3y=1$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$50x=-3y+1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 50 balioarekin.

$$x=\frac{1}{50}\left(-3y+1\right)$$

Egin \frac{1}{50} bider -3y+1.

$$x=-\frac{3}{50}y+\frac{1}{50}$$

Ordeztu \frac{-3y+1}{50} balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x-4y=5).

$$2\left(-\frac{3}{50}y+\frac{1}{50}\right)-4y=5$$

Egin 2 bider \frac{-3y+1}{50}.

$$-\frac{3}{25}y+\frac{1}{25}-4y=5$$

Gehitu -\frac{3y}{25} eta -4y.

$$-\frac{103}{25}y+\frac{1}{25}=5$$

Egin ken \frac{1}{25} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{103}{25}y=\frac{124}{25}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{103}{25} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{124}{103}$$

Ordeztu -\frac{124}{103} y balioarekin x=-\frac{3}{50}y+\frac{1}{50} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{50}\left(-\frac{124}{103}\right)+\frac{1}{50}$$

Egin -\frac{3}{50} bider -\frac{124}{103}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{186}{2575}+\frac{1}{50}$$

Gehitu \frac{1}{50} eta \frac{186}{2575} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{19}{206}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{19}{206},y=-\frac{124}{103}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$50x+3y=1,2x-4y=5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{50\left(-4\right)-3\times 2}&-\frac{3}{50\left(-4\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{50\left(-4\right)-3\times 2}&\frac{50}{50\left(-4\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{103}&\frac{3}{206}\\\frac{1}{103}&-\frac{25}{103}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{103}+\frac{3}{206}\times 5\\\frac{1}{103}-\frac{25}{103}\times 5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{206}\\-\frac{124}{103}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{19}{206},y=-\frac{124}{103}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$50x+3y=1,2x-4y=5$$

50x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 50 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 50x+2\times 3y=2,50\times 2x+50\left(-4\right)y=50\times 5$$

Sinplifikatu.

$$100x+6y=2,100x-200y=250$$

Egin 100x-200y=250 ken 100x+6y=2 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$100x-100x+6y+200y=2-250$$

Gehitu 100x eta -100x. Sinplifikatu egiten dira 100x eta -100x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$6y+200y=2-250$$

Gehitu 6y eta 200y.

$$206y=2-250$$

Gehitu 2 eta -250.

$$206y=-248$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 206 balioarekin.

$$y=-\frac{124}{103}$$

Ordeztu -\frac{124}{103} y balioarekin 2x-4y=5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x-4\left(-\frac{124}{103}\right)=5$$

Egin -4 bider -\frac{124}{103}.

$$2x+\frac{496}{103}=5$$

Egin ken \frac{496}{103} ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=\frac{19}{103}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{19}{206}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{19}{206},y=-\frac{124}{103}$$