Resolver {l}{5y+8x=-18}{5y+2x=58}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 y + 8 x = - 18 } \\ { 5 y + 2 x = 58 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x = -\frac{38}{3} = -12\frac{2}{3} \approx -12.666666667$$

$$y = \frac{50}{3} = 16\frac{2}{3} \approx 16.666666667$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5y+8x=-18,5y+2x=58$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5y+8x=-18$$

Egin ken 8x ekuazioaren bi aldeetan.

$$5y=-8x-18$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$y=\frac{1}{5}\left(-8x-18\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider -8x-18.

$$y=-\frac{8}{5}x-\frac{18}{5}$$

Ordeztu \frac{-8x-18}{5} balioa y balioarekin beste ekuazioan (5y+2x=58).

$$5\left(-\frac{8}{5}x-\frac{18}{5}\right)+2x=58$$

Egin 5 bider \frac{-8x-18}{5}.

$$-8x-18+2x=58$$

Gehitu -8x eta 2x.

$$-6x-18=58$$

Gehitu 18 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-6x=76$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -6 balioarekin.

$$x=-\frac{38}{3}$$

Ordeztu -\frac{38}{3} x balioarekin y=-\frac{8}{5}x-\frac{18}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=-\frac{8}{5}\left(-\frac{38}{3}\right)-\frac{18}{5}$$

Egin -\frac{8}{5} bider -\frac{38}{3}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y=\frac{304}{15}-\frac{18}{5}$$

Gehitu -\frac{18}{5} eta \frac{304}{15} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y=\frac{50}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=\frac{50}{3},x=-\frac{38}{3}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5y+8x=-18,5y+2x=58$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-8\times 5}&-\frac{8}{5\times 2-8\times 5}\\-\frac{5}{5\times 2-8\times 5}&\frac{5}{5\times 2-8\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&\frac{4}{15}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\left(-18\right)+\frac{4}{15}\times 58\\\frac{1}{6}\left(-18\right)-\frac{1}{6}\times 58\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{50}{3}\\-\frac{38}{3}\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=\frac{50}{3},x=-\frac{38}{3}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5y+8x=-18,5y+2x=58$$

Egin 5y+2x=58 ken 5y+8x=-18 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$5y-5y+8x-2x=-18-58$$

Gehitu 5y eta -5y. Sinplifikatu egiten dira 5y eta -5y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$8x-2x=-18-58$$

Gehitu 8x eta -2x.

$$6x=-18-58$$

Gehitu -18 eta -58.

$$6x=-76$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=-\frac{38}{3}$$

Ordeztu -\frac{38}{3} x balioarekin 5y+2x=58 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$5y+2\left(-\frac{38}{3}\right)=58$$

Egin 2 bider -\frac{38}{3}.

$$5y-\frac{76}{3}=58$$

Gehitu \frac{76}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$5y=\frac{250}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$y=\frac{50}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=\frac{50}{3},x=-\frac{38}{3}$$