Resolver {l}{5x-y=8}{10x+3y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - y = 8 } \\ { 10 x + 3 y = 6 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} = 1.2$$

$$y=-2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x-y=8,10x+3y=6$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x-y=8$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=y+8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+8\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider y+8.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}$$

Ordeztu \frac{8+y}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (10x+3y=6).

$$10\left(\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}\right)+3y=6$$

Egin 10 bider \frac{8+y}{5}.

$$2y+16+3y=6$$

Gehitu 2y eta 3y.

$$5y+16=6$$

Egin ken 16 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5y=-10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin x=\frac{1}{5}y+\frac{8}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2\right)+\frac{8}{5}$$

Egin \frac{1}{5} bider -2.

$$x=\frac{-2+8}{5}$$

Gehitu \frac{8}{5} eta -\frac{2}{5} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{6}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{6}{5},y=-2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x-y=8,10x+3y=6$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-10\right)}&-\frac{-1}{5\times 3-\left(-10\right)}\\-\frac{10}{5\times 3-\left(-10\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}&\frac{1}{25}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}\times 8+\frac{1}{25}\times 6\\-\frac{2}{5}\times 8+\frac{1}{5}\times 6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\\-2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{6}{5},y=-2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x-y=8,10x+3y=6$$

5x eta 10x berdintzeko, biderkatu 10 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$10\times 5x+10\left(-1\right)y=10\times 8,5\times 10x+5\times 3y=5\times 6$$

Sinplifikatu.

$$50x-10y=80,50x+15y=30$$

Egin 50x+15y=30 ken 50x-10y=80 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$50x-50x-10y-15y=80-30$$

Gehitu 50x eta -50x. Sinplifikatu egiten dira 50x eta -50x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-10y-15y=80-30$$

Gehitu -10y eta -15y.

$$-25y=80-30$$

Gehitu 80 eta -30.

$$-25y=50$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -25 balioarekin.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin 10x+3y=6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$10x+3\left(-2\right)=6$$

Egin 3 bider -2.

$$10x-6=6$$

Gehitu 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$10x=12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin.

$$x=\frac{6}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{6}{5},y=-2$$