Resolver {l}{5x-y=3}{-2x+4y=12}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - y = 3 } \\ { - 2 x + 4 y = 12 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$y = \frac{11}{3} = 3\frac{2}{3} \approx 3.666666667$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x-y=3,-2x+4y=12$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x-y=3$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=y+3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+3\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider y+3.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{3}{5}$$

Ordeztu \frac{3+y}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-2x+4y=12).

$$-2\left(\frac{1}{5}y+\frac{3}{5}\right)+4y=12$$

Egin -2 bider \frac{3+y}{5}.

$$-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}+4y=12$$

Gehitu -\frac{2y}{5} eta 4y.

$$\frac{18}{5}y-\frac{6}{5}=12$$

Gehitu \frac{6}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{18}{5}y=\frac{66}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{18}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{11}{3}$$

Ordeztu \frac{11}{3} y balioarekin x=\frac{1}{5}y+\frac{3}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1}{5}\times \frac{11}{3}+\frac{3}{5}$$

Egin \frac{1}{5} bider \frac{11}{3}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{11}{15}+\frac{3}{5}$$

Gehitu \frac{3}{5} eta \frac{11}{15} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{4}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{11}{3}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x-y=3,-2x+4y=12$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 4-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5\times 4-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{5}{5\times 4-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{18}\\\frac{1}{9}&\frac{5}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 3+\frac{1}{18}\times 12\\\frac{1}{9}\times 3+\frac{5}{18}\times 12\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{11}{3}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x-y=3,-2x+4y=12$$

5x eta -2x berdintzeko, biderkatu -2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-2\times 5x-2\left(-1\right)y=-2\times 3,5\left(-2\right)x+5\times 4y=5\times 12$$

Sinplifikatu.

$$-10x+2y=-6,-10x+20y=60$$

Egin -10x+20y=60 ken -10x+2y=-6 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-10x+10x+2y-20y=-6-60$$

Gehitu -10x eta 10x. Sinplifikatu egiten dira -10x eta 10x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$2y-20y=-6-60$$

Gehitu 2y eta -20y.

$$-18y=-6-60$$

Gehitu -6 eta -60.

$$-18y=-66$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -18 balioarekin.

$$y=\frac{11}{3}$$

Ordeztu \frac{11}{3} y balioarekin -2x+4y=12 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-2x+4\times \frac{11}{3}=12$$

Egin 4 bider \frac{11}{3}.

$$-2x+\frac{44}{3}=12$$

Egin ken \frac{44}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2x=-\frac{8}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$x=\frac{4}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{11}{3}$$