Resolver {l}{5x-y=1}{x-y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - y = 1 } \\ { x - y = 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-\frac{1}{4}=-0.25$$

$$y = -\frac{9}{4} = -2\frac{1}{4} = -2.25$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x-y=1,x-y=2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x-y=1$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=y+1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+1\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider y+1.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{1}{5}$$

Ordeztu \frac{1+y}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (x-y=2).

$$\frac{1}{5}y+\frac{1}{5}-y=2$$

Gehitu \frac{y}{5} eta -y.

$$-\frac{4}{5}y+\frac{1}{5}=2$$

Egin ken \frac{1}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{4}{5}y=\frac{9}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{4}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{9}{4}$$

Ordeztu -\frac{9}{4} y balioarekin x=\frac{1}{5}y+\frac{1}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1}{5}\left(-\frac{9}{4}\right)+\frac{1}{5}$$

Egin \frac{1}{5} bider -\frac{9}{4}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{9}{20}+\frac{1}{5}$$

Gehitu \frac{1}{5} eta -\frac{9}{20} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{1}{4},y=-\frac{9}{4}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x-y=1,x-y=2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&-1\\1&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{5\left(-1\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-1\right)}&\frac{5}{5\left(-1\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{5}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\times 2\\\frac{1}{4}-\frac{5}{4}\times 2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\\-\frac{9}{4}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{1}{4},y=-\frac{9}{4}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x-y=1,x-y=2$$

Egin x-y=2 ken 5x-y=1 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$5x-x-y+y=1-2$$

Gehitu -y eta y. Sinplifikatu egiten dira -y eta y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$5x-x=1-2$$

Gehitu 5x eta -x.

$$4x=1-2$$

Gehitu 1 eta -2.

$$4x=-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Ordeztu -\frac{1}{4} x balioarekin x-y=2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$-\frac{1}{4}-y=2$$

Gehitu \frac{1}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-y=\frac{9}{4}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{1}{4},y=-\frac{9}{4}$$