Resolver {l}{5x-8=y}{3x+2y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 8 = y } \\ { 3 x + 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{18}{13} = 1\frac{5}{13} \approx 1.384615385$$

$$y = -\frac{14}{13} = -1\frac{1}{13} \approx -1.076923077$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$5x-8-y=0$$

Gehitu 8 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$5x-y=8$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x-y=8,3x+2y=2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x-y=8$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=y+8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+8\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider y+8.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}$$

Ordeztu \frac{8+y}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+2y=2).

$$3\left(\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}\right)+2y=2$$

Egin 3 bider \frac{8+y}{5}.

$$\frac{3}{5}y+\frac{24}{5}+2y=2$$

Gehitu \frac{3y}{5} eta 2y.

$$\frac{13}{5}y+\frac{24}{5}=2$$

Egin ken \frac{24}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{13}{5}y=-\frac{14}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{13}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{14}{13}$$

Ordeztu -\frac{14}{13} y balioarekin x=\frac{1}{5}y+\frac{8}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1}{5}\left(-\frac{14}{13}\right)+\frac{8}{5}$$

Egin \frac{1}{5} bider -\frac{14}{13}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{14}{65}+\frac{8}{5}$$

Gehitu \frac{8}{5} eta -\frac{14}{65} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{18}{13}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{18}{13},y=-\frac{14}{13}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$5x-8-y=0$$

Gehitu 8 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$5x-y=8$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x-y=8,3x+2y=2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{5\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{5\times 2-\left(-3\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{5}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 8+\frac{1}{13}\times 2\\-\frac{3}{13}\times 8+\frac{5}{13}\times 2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{13}\\-\frac{14}{13}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{18}{13},y=-\frac{14}{13}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$5x-8-y=0$$

Gehitu 8 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$5x-y=8$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x-y=8,3x+2y=2$$

5x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 5x+3\left(-1\right)y=3\times 8,5\times 3x+5\times 2y=5\times 2$$

Sinplifikatu.

$$15x-3y=24,15x+10y=10$$

Egin 15x+10y=10 ken 15x-3y=24 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$15x-15x-3y-10y=24-10$$

Gehitu 15x eta -15x. Sinplifikatu egiten dira 15x eta -15x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-3y-10y=24-10$$

Gehitu -3y eta -10y.

$$-13y=24-10$$

Gehitu 24 eta -10.

$$-13y=14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -13 balioarekin.

$$y=-\frac{14}{13}$$

Ordeztu -\frac{14}{13} y balioarekin 3x+2y=2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x+2\left(-\frac{14}{13}\right)=2$$

Egin 2 bider -\frac{14}{13}.

$$3x-\frac{28}{13}=2$$

Gehitu \frac{28}{13} ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=\frac{54}{13}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{18}{13}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{18}{13},y=-\frac{14}{13}$$