Resolver {l}{5x-7y=-27}{2x+3y=24}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 7 y = - 27 } \\ { 2 x + 3 y = 24 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=3$$

$$y=6$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x-7y=-27,2x+3y=24$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x-7y=-27$$

Gehitu 7y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=7y-27$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(7y-27\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider 7y-27.

$$x=\frac{7}{5}y-\frac{27}{5}$$

Ordeztu \frac{7y-27}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+3y=24).

$$2\left(\frac{7}{5}y-\frac{27}{5}\right)+3y=24$$

Egin 2 bider \frac{7y-27}{5}.

$$\frac{14}{5}y-\frac{54}{5}+3y=24$$

Gehitu \frac{14y}{5} eta 3y.

$$\frac{29}{5}y-\frac{54}{5}=24$$

Gehitu \frac{54}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{29}{5}y=\frac{174}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{29}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=6$$

Ordeztu 6 y balioarekin x=\frac{7}{5}y-\frac{27}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{7}{5}\times 6-\frac{27}{5}$$

Egin \frac{7}{5} bider 6.

$$x=\frac{42-27}{5}$$

Gehitu -\frac{27}{5} eta \frac{42}{5} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=6$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x-7y=-27,2x+3y=24$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-27\\24\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\24\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\24\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\24\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{5\times 3-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{5\times 3-\left(-7\times 2\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-27\\24\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{29}&\frac{7}{29}\\-\frac{2}{29}&\frac{5}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-27\\24\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{29}\left(-27\right)+\frac{7}{29}\times 24\\-\frac{2}{29}\left(-27\right)+\frac{5}{29}\times 24\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=3,y=6$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x-7y=-27,2x+3y=24$$

5x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 5x+2\left(-7\right)y=2\left(-27\right),5\times 2x+5\times 3y=5\times 24$$

Sinplifikatu.

$$10x-14y=-54,10x+15y=120$$

Egin 10x+15y=120 ken 10x-14y=-54 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$10x-10x-14y-15y=-54-120$$

Gehitu 10x eta -10x. Sinplifikatu egiten dira 10x eta -10x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-14y-15y=-54-120$$

Gehitu -14y eta -15y.

$$-29y=-54-120$$

Gehitu -54 eta -120.

$$-29y=-174$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -29 balioarekin.

$$y=6$$

Ordeztu 6 y balioarekin 2x+3y=24 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x+3\times 6=24$$

Egin 3 bider 6.

$$2x+18=24$$

Egin ken 18 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=6$$