Resolver {l}{5x-6y=4}{3x+7y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 6 y = 4 } \\ { 3 x + 7 y = 8 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{76}{53} = 1\frac{23}{53} \approx 1.433962264$$

$$y=\frac{28}{53}\approx 0.528301887$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x-6y=4,3x+7y=8$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x-6y=4$$

Gehitu 6y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=6y+4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(6y+4\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider 6y+4.

$$x=\frac{6}{5}y+\frac{4}{5}$$

Ordeztu \frac{6y+4}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+7y=8).

$$3\left(\frac{6}{5}y+\frac{4}{5}\right)+7y=8$$

Egin 3 bider \frac{6y+4}{5}.

$$\frac{18}{5}y+\frac{12}{5}+7y=8$$

Gehitu \frac{18y}{5} eta 7y.

$$\frac{53}{5}y+\frac{12}{5}=8$$

Egin ken \frac{12}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{53}{5}y=\frac{28}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{53}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{28}{53}$$

Ordeztu \frac{28}{53} y balioarekin x=\frac{6}{5}y+\frac{4}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{6}{5}\times \frac{28}{53}+\frac{4}{5}$$

Egin \frac{6}{5} bider \frac{28}{53}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{168}{265}+\frac{4}{5}$$

Gehitu \frac{4}{5} eta \frac{168}{265} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{76}{53}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{76}{53},y=\frac{28}{53}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x-6y=4,3x+7y=8$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-6\times 3\right)}&-\frac{-6}{5\times 7-\left(-6\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 7-\left(-6\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-6\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{53}&\frac{6}{53}\\-\frac{3}{53}&\frac{5}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{53}\times 4+\frac{6}{53}\times 8\\-\frac{3}{53}\times 4+\frac{5}{53}\times 8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{76}{53}\\\frac{28}{53}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{76}{53},y=\frac{28}{53}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x-6y=4,3x+7y=8$$

5x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 5x+3\left(-6\right)y=3\times 4,5\times 3x+5\times 7y=5\times 8$$

Sinplifikatu.

$$15x-18y=12,15x+35y=40$$

Egin 15x+35y=40 ken 15x-18y=12 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$15x-15x-18y-35y=12-40$$

Gehitu 15x eta -15x. Sinplifikatu egiten dira 15x eta -15x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-18y-35y=12-40$$

Gehitu -18y eta -35y.

$$-53y=12-40$$

Gehitu 12 eta -40.

$$-53y=-28$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -53 balioarekin.

$$y=\frac{28}{53}$$

Ordeztu \frac{28}{53} y balioarekin 3x+7y=8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x+7\times \frac{28}{53}=8$$

Egin 7 bider \frac{28}{53}.

$$3x+\frac{196}{53}=8$$

Egin ken \frac{196}{53} ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=\frac{228}{53}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{76}{53}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{76}{53},y=\frac{28}{53}$$