Resolver {l}{5x-6y=10}{2x+7y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 6 y = 10 } \\ { 2 x + 7 y = 3 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{88}{47} = 1\frac{41}{47} \approx 1.872340426$$

$$y=-\frac{5}{47}\approx -0.106382979$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x-6y=10,2x+7y=3$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x-6y=10$$

Gehitu 6y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=6y+10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(6y+10\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider 6y+10.

$$x=\frac{6}{5}y+2$$

Ordeztu \frac{6y}{5}+2 balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+7y=3).

$$2\left(\frac{6}{5}y+2\right)+7y=3$$

Egin 2 bider \frac{6y}{5}+2.

$$\frac{12}{5}y+4+7y=3$$

Gehitu \frac{12y}{5} eta 7y.

$$\frac{47}{5}y+4=3$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{47}{5}y=-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{47}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{5}{47}$$

Ordeztu -\frac{5}{47} y balioarekin x=\frac{6}{5}y+2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{6}{5}\left(-\frac{5}{47}\right)+2$$

Egin \frac{6}{5} bider -\frac{5}{47}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{6}{47}+2$$

Gehitu 2 eta -\frac{6}{47}.

$$x=\frac{88}{47}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{88}{47},y=-\frac{5}{47}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x-6y=10,2x+7y=3$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-6\times 2\right)}&-\frac{-6}{5\times 7-\left(-6\times 2\right)}\\-\frac{2}{5\times 7-\left(-6\times 2\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-6\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}&\frac{6}{47}\\-\frac{2}{47}&\frac{5}{47}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}\times 10+\frac{6}{47}\times 3\\-\frac{2}{47}\times 10+\frac{5}{47}\times 3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{88}{47}\\-\frac{5}{47}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{88}{47},y=-\frac{5}{47}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x-6y=10,2x+7y=3$$

5x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 5x+2\left(-6\right)y=2\times 10,5\times 2x+5\times 7y=5\times 3$$

Sinplifikatu.

$$10x-12y=20,10x+35y=15$$

Egin 10x+35y=15 ken 10x-12y=20 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$10x-10x-12y-35y=20-15$$

Gehitu 10x eta -10x. Sinplifikatu egiten dira 10x eta -10x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-12y-35y=20-15$$

Gehitu -12y eta -35y.

$$-47y=20-15$$

Gehitu 20 eta -15.

$$-47y=5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -47 balioarekin.

$$y=-\frac{5}{47}$$

Ordeztu -\frac{5}{47} y balioarekin 2x+7y=3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x+7\left(-\frac{5}{47}\right)=3$$

Egin 7 bider -\frac{5}{47}.

$$2x-\frac{35}{47}=3$$

Gehitu \frac{35}{47} ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=\frac{176}{47}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{88}{47}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{88}{47},y=-\frac{5}{47}$$