Resolver {l}{5x-3y=2}{6x+2y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 2 } \\ { 6 x + 2 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-\frac{11}{28}\approx -0.392857143$$

$$y = -\frac{37}{28} = -1\frac{9}{28} \approx -1.321428571$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x-3y=2,6x+2y=-5$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x-3y=2$$

Gehitu 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=3y+2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+2\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider 3y+2.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}$$

Ordeztu \frac{3y+2}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (6x+2y=-5).

$$6\left(\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}\right)+2y=-5$$

Egin 6 bider \frac{3y+2}{5}.

$$\frac{18}{5}y+\frac{12}{5}+2y=-5$$

Gehitu \frac{18y}{5} eta 2y.

$$\frac{28}{5}y+\frac{12}{5}=-5$$

Egin ken \frac{12}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{28}{5}y=-\frac{37}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{28}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{37}{28}$$

Ordeztu -\frac{37}{28} y balioarekin x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{37}{28}\right)+\frac{2}{5}$$

Egin \frac{3}{5} bider -\frac{37}{28}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{111}{140}+\frac{2}{5}$$

Gehitu \frac{2}{5} eta -\frac{111}{140} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{11}{28}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{11}{28},y=-\frac{37}{28}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x-3y=2,6x+2y=-5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-3\times 6\right)}&-\frac{-3}{5\times 2-\left(-3\times 6\right)}\\-\frac{6}{5\times 2-\left(-3\times 6\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-3\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{28}\\-\frac{3}{14}&\frac{5}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 2+\frac{3}{28}\left(-5\right)\\-\frac{3}{14}\times 2+\frac{5}{28}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{28}\\-\frac{37}{28}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{11}{28},y=-\frac{37}{28}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x-3y=2,6x+2y=-5$$

5x eta 6x berdintzeko, biderkatu 6 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$6\times 5x+6\left(-3\right)y=6\times 2,5\times 6x+5\times 2y=5\left(-5\right)$$

Sinplifikatu.

$$30x-18y=12,30x+10y=-25$$

Egin 30x+10y=-25 ken 30x-18y=12 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$30x-30x-18y-10y=12+25$$

Gehitu 30x eta -30x. Sinplifikatu egiten dira 30x eta -30x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-18y-10y=12+25$$

Gehitu -18y eta -10y.

$$-28y=12+25$$

Gehitu 12 eta 25.

$$-28y=37$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -28 balioarekin.

$$y=-\frac{37}{28}$$

Ordeztu -\frac{37}{28} y balioarekin 6x+2y=-5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$6x+2\left(-\frac{37}{28}\right)=-5$$

Egin 2 bider -\frac{37}{28}.

$$6x-\frac{37}{14}=-5$$

Gehitu \frac{37}{14} ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x=-\frac{33}{14}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=-\frac{11}{28}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{11}{28},y=-\frac{37}{28}$$