Resolver {l}{5x-3y=2}{4x+7y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 2 } \\ { 4 x + 7 y = - 3 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{5}{47}\approx 0.106382979$$

$$y=-\frac{23}{47}\approx -0.489361702$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x-3y=2,4x+7y=-3$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x-3y=2$$

Gehitu 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=3y+2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+2\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider 3y+2.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}$$

Ordeztu \frac{3y+2}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x+7y=-3).

$$4\left(\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}\right)+7y=-3$$

Egin 4 bider \frac{3y+2}{5}.

$$\frac{12}{5}y+\frac{8}{5}+7y=-3$$

Gehitu \frac{12y}{5} eta 7y.

$$\frac{47}{5}y+\frac{8}{5}=-3$$

Egin ken \frac{8}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{47}{5}y=-\frac{23}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{47}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{23}{47}$$

Ordeztu -\frac{23}{47} y balioarekin x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{23}{47}\right)+\frac{2}{5}$$

Egin \frac{3}{5} bider -\frac{23}{47}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{69}{235}+\frac{2}{5}$$

Gehitu \frac{2}{5} eta -\frac{69}{235} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{5}{47}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{5}{47},y=-\frac{23}{47}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x-3y=2,4x+7y=-3$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}&\frac{3}{47}\\-\frac{4}{47}&\frac{5}{47}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}\times 2+\frac{3}{47}\left(-3\right)\\-\frac{4}{47}\times 2+\frac{5}{47}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{47}\\-\frac{23}{47}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{5}{47},y=-\frac{23}{47}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x-3y=2,4x+7y=-3$$

5x eta 4x berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4\times 5x+4\left(-3\right)y=4\times 2,5\times 4x+5\times 7y=5\left(-3\right)$$

Sinplifikatu.

$$20x-12y=8,20x+35y=-15$$

Egin 20x+35y=-15 ken 20x-12y=8 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$20x-20x-12y-35y=8+15$$

Gehitu 20x eta -20x. Sinplifikatu egiten dira 20x eta -20x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-12y-35y=8+15$$

Gehitu -12y eta -35y.

$$-47y=8+15$$

Gehitu 8 eta 15.

$$-47y=23$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -47 balioarekin.

$$y=-\frac{23}{47}$$

Ordeztu -\frac{23}{47} y balioarekin 4x+7y=-3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x+7\left(-\frac{23}{47}\right)=-3$$

Egin 7 bider -\frac{23}{47}.

$$4x-\frac{161}{47}=-3$$

Gehitu \frac{161}{47} ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=\frac{20}{47}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{5}{47}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{5}{47},y=-\frac{23}{47}$$