Resolver {l}{5x=7z}{8x=9z}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x = 7 z } \\ { 8 x = 9 z } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, z

$$x=0$$

$$z=0$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 7z bi aldeetatik.

$$5x-7z=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 9z bi aldeetatik.

$$8x-9z=0$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x-7z=0,8x-9z=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x-7z=0$$

Gehitu 7z ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=7z$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\times 7z$$

Egin \frac{1}{5} bider 7z.

$$x=\frac{7}{5}z$$

Ordeztu \frac{7z}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (8x-9z=0).

$$8\times \frac{7}{5}z-9z=0$$

Egin 8 bider \frac{7z}{5}.

$$\frac{56}{5}z-9z=0$$

Gehitu \frac{56z}{5} eta -9z.

$$\frac{11}{5}z=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{11}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$z=0$$

Ordeztu 0 z balioarekin x=\frac{7}{5}z ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=0$$

Ebatzi da sistema.

$$x=0,z=0$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 7z bi aldeetatik.

$$5x-7z=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 9z bi aldeetatik.

$$8x-9z=0$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x-7z=0,8x-9z=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{5\left(-9\right)-\left(-7\times 8\right)}&-\frac{-7}{5\left(-9\right)-\left(-7\times 8\right)}\\-\frac{8}{5\left(-9\right)-\left(-7\times 8\right)}&\frac{5}{5\left(-9\right)-\left(-7\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{11}&\frac{7}{11}\\-\frac{8}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Atera x eta z matrize-elementuak.

$$x=0,z=0$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 7z bi aldeetatik.

$$5x-7z=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 9z bi aldeetatik.

$$8x-9z=0$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x-7z=0,8x-9z=0$$

5x eta 8x berdintzeko, biderkatu 8 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$8\times 5x+8\left(-7\right)z=0,5\times 8x+5\left(-9\right)z=0$$

Sinplifikatu.

$$40x-56z=0,40x-45z=0$$

Egin 40x-45z=0 ken 40x-56z=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$40x-40x-56z+45z=0$$

Gehitu 40x eta -40x. Sinplifikatu egiten dira 40x eta -40x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-56z+45z=0$$

Gehitu -56z eta 45z.

$$-11z=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -11 balioarekin.

$$z=0$$

Ordeztu 0 z balioarekin 8x-9z=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$8x=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$x=0$$

Ebatzi da sistema.

$$x=0,z=0$$