Resolver {l}{5x=4y}{2x+1y=52}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x = 4 y } \\ { 2 x + 1 y = 52 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=16$$

$$y=20$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 4y bi aldeetatik.

$$5x-4y=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Berrantolatu gaiak.

$$2x+y=52$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x-4y=0,2x+y=52$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x-4y=0$$

Gehitu 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=4y$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\times 4y$$

Egin \frac{1}{5} bider 4y.

$$x=\frac{4}{5}y$$

Ordeztu \frac{4y}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+y=52).

$$2\times \frac{4}{5}y+y=52$$

Egin 2 bider \frac{4y}{5}.

$$\frac{8}{5}y+y=52$$

Gehitu \frac{8y}{5} eta y.

$$\frac{13}{5}y=52$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{13}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=20$$

Ordeztu 20 y balioarekin x=\frac{4}{5}y ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{4}{5}\times 20$$

Egin \frac{4}{5} bider 20.

$$x=16$$

Ebatzi da sistema.

$$x=16,y=20$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 4y bi aldeetatik.

$$5x-4y=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Berrantolatu gaiak.

$$2x+y=52$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x-4y=0,2x+y=52$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\52\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&-4\\2&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\52\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\52\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\52\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{5-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{5-\left(-4\times 2\right)}&\frac{5}{5-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\52\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{4}{13}\\-\frac{2}{13}&\frac{5}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\52\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}\times 52\\\frac{5}{13}\times 52\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\20\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=16,y=20$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 4y bi aldeetatik.

$$5x-4y=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Berrantolatu gaiak.

$$2x+y=52$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x-4y=0,2x+y=52$$

5x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 5x+2\left(-4\right)y=0,5\times 2x+5y=5\times 52$$

Sinplifikatu.

$$10x-8y=0,10x+5y=260$$

Egin 10x+5y=260 ken 10x-8y=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$10x-10x-8y-5y=-260$$

Gehitu 10x eta -10x. Sinplifikatu egiten dira 10x eta -10x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-8y-5y=-260$$

Gehitu -8y eta -5y.

$$-13y=-260$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -13 balioarekin.

$$y=20$$

Ordeztu 20 y balioarekin 2x+y=52 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x+20=52$$

Egin ken 20 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=32$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=16$$

Ebatzi da sistema.

$$x=16,y=20$$