Resolver {l}{5x=2y+16}{7x=32-2y}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x = 2 y + 16 } \\ { 7 x = 32 - 2 y } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=4$$

$$y=2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2y bi aldeetatik.

$$5x-2y=16$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 2y bi aldeetan.

$$7x+2y=32$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x-2y=16$$

Gehitu 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=2y+16$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+16\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider 16+2y.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}$$

Ordeztu \frac{16+2y}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (7x+2y=32).

$$7\left(\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}\right)+2y=32$$

Egin 7 bider \frac{16+2y}{5}.

$$\frac{14}{5}y+\frac{112}{5}+2y=32$$

Gehitu \frac{14y}{5} eta 2y.

$$\frac{24}{5}y+\frac{112}{5}=32$$

Egin ken \frac{112}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{24}{5}y=\frac{48}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{24}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin x=\frac{2}{5}y+\frac{16}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{2}{5}\times 2+\frac{16}{5}$$

Egin \frac{2}{5} bider 2.

$$x=\frac{4+16}{5}$$

Gehitu \frac{16}{5} eta \frac{4}{5} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=4,y=2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2y bi aldeetatik.

$$5x-2y=16$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 2y bi aldeetan.

$$7x+2y=32$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}&-\frac{-2}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}\\-\frac{7}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\-\frac{7}{24}&\frac{5}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{12}\times 32\\-\frac{7}{24}\times 16+\frac{5}{24}\times 32\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=4,y=2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2y bi aldeetatik.

$$5x-2y=16$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 2y bi aldeetan.

$$7x+2y=32$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

5x eta 7x berdintzeko, biderkatu 7 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$7\times 5x+7\left(-2\right)y=7\times 16,5\times 7x+5\times 2y=5\times 32$$

Sinplifikatu.

$$35x-14y=112,35x+10y=160$$

Egin 35x+10y=160 ken 35x-14y=112 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$35x-35x-14y-10y=112-160$$

Gehitu 35x eta -35x. Sinplifikatu egiten dira 35x eta -35x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-14y-10y=112-160$$

Gehitu -14y eta -10y.

$$-24y=112-160$$

Gehitu 112 eta -160.

$$-24y=-48$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -24 balioarekin.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin 7x+2y=32 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$7x+2\times 2=32$$

Egin 2 bider 2.

$$7x+4=32$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x=28$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$x=4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=4,y=2$$