Resolver {l}{5x+y=9.95}{6x+6y=18.60}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = 9.95 } \\ { 6 x + 6 y = 18.60 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1.7125$$

$$y=1.3875$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x+y=9.95,6x+6y=18.6$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x+y=9.95$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=-y+9.95$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+9.95\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider -y+9.95.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{199}{100}$$

Ordeztu -\frac{y}{5}+\frac{199}{100} balioa x balioarekin beste ekuazioan (6x+6y=18.6).

$$6\left(-\frac{1}{5}y+\frac{199}{100}\right)+6y=18.6$$

Egin 6 bider -\frac{y}{5}+\frac{199}{100}.

$$-\frac{6}{5}y+\frac{597}{50}+6y=18.6$$

Gehitu -\frac{6y}{5} eta 6y.

$$\frac{24}{5}y+\frac{597}{50}=18.6$$

Egin ken \frac{597}{50} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{24}{5}y=\frac{333}{50}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{24}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{111}{80}$$

Ordeztu \frac{111}{80} y balioarekin x=-\frac{1}{5}y+\frac{199}{100} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{5}\times \frac{111}{80}+\frac{199}{100}$$

Egin -\frac{1}{5} bider \frac{111}{80}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{111}{400}+\frac{199}{100}$$

Gehitu \frac{199}{100} eta -\frac{111}{400} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{137}{80}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{137}{80},y=\frac{111}{80}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x+y=9.95,6x+6y=18.6$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9.95\\18.6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9.95\\18.6\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9.95\\18.6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9.95\\18.6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5\times 6-6}&-\frac{1}{5\times 6-6}\\-\frac{6}{5\times 6-6}&\frac{5}{5\times 6-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9.95\\18.6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{24}\\-\frac{1}{4}&\frac{5}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9.95\\18.6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 9.95-\frac{1}{24}\times 18.6\\-\frac{1}{4}\times 9.95+\frac{5}{24}\times 18.6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{137}{80}\\\frac{111}{80}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{137}{80},y=\frac{111}{80}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x+y=9.95,6x+6y=18.6$$

5x eta 6x berdintzeko, biderkatu 6 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$6\times 5x+6y=6\times 9.95,5\times 6x+5\times 6y=5\times 18.6$$

Sinplifikatu.

$$30x+6y=59.7,30x+30y=93$$

Egin 30x+30y=93 ken 30x+6y=59.7 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$30x-30x+6y-30y=59.7-93$$

Gehitu 30x eta -30x. Sinplifikatu egiten dira 30x eta -30x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$6y-30y=59.7-93$$

Gehitu 6y eta -30y.

$$-24y=59.7-93$$

Gehitu 59.7 eta -93.

$$-24y=-33.3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -24 balioarekin.

$$y=\frac{111}{80}$$

Ordeztu \frac{111}{80} y balioarekin 6x+6y=18.6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$6x+6\times \frac{111}{80}=18.6$$

Egin 6 bider \frac{111}{80}.

$$6x+\frac{333}{40}=18.6$$

Egin ken \frac{333}{40} ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x=\frac{411}{40}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=\frac{137}{80}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{137}{80},y=\frac{111}{80}$$