Resolver {l}{5x+y=9}{10x-7y=-18}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = 9 } \\ { 10 x - 7 y = - 18 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1$$

$$y=4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x+y=9$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=-y+9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+9\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider -y+9.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}$$

Ordeztu \frac{-y+9}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (10x-7y=-18).

$$10\left(-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}\right)-7y=-18$$

Egin 10 bider \frac{-y+9}{5}.

$$-2y+18-7y=-18$$

Gehitu -2y eta -7y.

$$-9y+18=-18$$

Egin ken 18 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-9y=-36$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -9 balioarekin.

$$y=4$$

Ordeztu 4 y balioarekin x=-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{5}\times 4+\frac{9}{5}$$

Egin -\frac{1}{5} bider 4.

$$x=\frac{-4+9}{5}$$

Gehitu \frac{9}{5} eta -\frac{4}{5} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{5\left(-7\right)-10}&-\frac{1}{5\left(-7\right)-10}\\-\frac{10}{5\left(-7\right)-10}&\frac{5}{5\left(-7\right)-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{45}&\frac{1}{45}\\\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{45}\times 9+\frac{1}{45}\left(-18\right)\\\frac{2}{9}\times 9-\frac{1}{9}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=1,y=4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

5x eta 10x berdintzeko, biderkatu 10 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$10\times 5x+10y=10\times 9,5\times 10x+5\left(-7\right)y=5\left(-18\right)$$

Sinplifikatu.

$$50x+10y=90,50x-35y=-90$$

Egin 50x-35y=-90 ken 50x+10y=90 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$50x-50x+10y+35y=90+90$$

Gehitu 50x eta -50x. Sinplifikatu egiten dira 50x eta -50x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$10y+35y=90+90$$

Gehitu 10y eta 35y.

$$45y=90+90$$

Gehitu 90 eta 90.

$$45y=180$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 45 balioarekin.

$$y=4$$

Ordeztu 4 y balioarekin 10x-7y=-18 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$10x-7\times 4=-18$$

Egin -7 bider 4.

$$10x-28=-18$$

Gehitu 28 ekuazioaren bi aldeetan.

$$10x=10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=4$$