Resolver {l}{5x+y=-1}{2x+5y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = - 1 } \\ { 2 x + 5 y = 7 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-\frac{12}{23}\approx -0.52173913$$

$$y = \frac{37}{23} = 1\frac{14}{23} \approx 1.608695652$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x+y=-1,2x+5y=7$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x+y=-1$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=-y-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y-1\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider -y-1.

$$x=-\frac{1}{5}y-\frac{1}{5}$$

Ordeztu \frac{-y-1}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+5y=7).

$$2\left(-\frac{1}{5}y-\frac{1}{5}\right)+5y=7$$

Egin 2 bider \frac{-y-1}{5}.

$$-\frac{2}{5}y-\frac{2}{5}+5y=7$$

Gehitu -\frac{2y}{5} eta 5y.

$$\frac{23}{5}y-\frac{2}{5}=7$$

Gehitu \frac{2}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{23}{5}y=\frac{37}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{23}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{37}{23}$$

Ordeztu \frac{37}{23} y balioarekin x=-\frac{1}{5}y-\frac{1}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{5}\times \frac{37}{23}-\frac{1}{5}$$

Egin -\frac{1}{5} bider \frac{37}{23}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{37}{115}-\frac{1}{5}$$

Gehitu -\frac{1}{5} eta -\frac{37}{115} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{12}{23}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{12}{23},y=\frac{37}{23}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x+y=-1,2x+5y=7$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-2}&-\frac{1}{5\times 5-2}\\-\frac{2}{5\times 5-2}&\frac{5}{5\times 5-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}&-\frac{1}{23}\\-\frac{2}{23}&\frac{5}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}\left(-1\right)-\frac{1}{23}\times 7\\-\frac{2}{23}\left(-1\right)+\frac{5}{23}\times 7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{23}\\\frac{37}{23}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{12}{23},y=\frac{37}{23}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x+y=-1,2x+5y=7$$

5x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 5x+2y=2\left(-1\right),5\times 2x+5\times 5y=5\times 7$$

Sinplifikatu.

$$10x+2y=-2,10x+25y=35$$

Egin 10x+25y=35 ken 10x+2y=-2 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$10x-10x+2y-25y=-2-35$$

Gehitu 10x eta -10x. Sinplifikatu egiten dira 10x eta -10x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$2y-25y=-2-35$$

Gehitu 2y eta -25y.

$$-23y=-2-35$$

Gehitu -2 eta -35.

$$-23y=-37$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -23 balioarekin.

$$y=\frac{37}{23}$$

Ordeztu \frac{37}{23} y balioarekin 2x+5y=7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x+5\times \frac{37}{23}=7$$

Egin 5 bider \frac{37}{23}.

$$2x+\frac{185}{23}=7$$

Egin ken \frac{185}{23} ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-\frac{24}{23}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=-\frac{12}{23}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{12}{23},y=\frac{37}{23}$$