Resolver {l}{5x+5y=14}{2x+4y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 5 y = 14 } \\ { 2 x + 4 y = 10 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{3}{5}=0.6$$

$$y = \frac{11}{5} = 2\frac{1}{5} = 2.2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x+5y=14,2x+4y=10$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x+5y=14$$

Egin ken 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=-5y+14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(-5y+14\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider -5y+14.

$$x=-y+\frac{14}{5}$$

Ordeztu -y+\frac{14}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+4y=10).

$$2\left(-y+\frac{14}{5}\right)+4y=10$$

Egin 2 bider -y+\frac{14}{5}.

$$-2y+\frac{28}{5}+4y=10$$

Gehitu -2y eta 4y.

$$2y+\frac{28}{5}=10$$

Egin ken \frac{28}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y=\frac{22}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=\frac{11}{5}$$

Ordeztu \frac{11}{5} y balioarekin x=-y+\frac{14}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{11}{5}+\frac{14}{5}$$

Egin -1 bider \frac{11}{5}.

$$x=\frac{-11+14}{5}$$

Gehitu \frac{14}{5} eta -\frac{11}{5} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{3}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{11}{5}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x+5y=14,2x+4y=10$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-5\times 2}&-\frac{5}{5\times 4-5\times 2}\\-\frac{2}{5\times 4-5\times 2}&\frac{5}{5\times 4-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 14-\frac{1}{2}\times 10\\-\frac{1}{5}\times 14+\frac{1}{2}\times 10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\\\frac{11}{5}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{11}{5}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x+5y=14,2x+4y=10$$

5x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 5x+2\times 5y=2\times 14,5\times 2x+5\times 4y=5\times 10$$

Sinplifikatu.

$$10x+10y=28,10x+20y=50$$

Egin 10x+20y=50 ken 10x+10y=28 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$10x-10x+10y-20y=28-50$$

Gehitu 10x eta -10x. Sinplifikatu egiten dira 10x eta -10x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$10y-20y=28-50$$

Gehitu 10y eta -20y.

$$-10y=28-50$$

Gehitu 28 eta -50.

$$-10y=-22$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -10 balioarekin.

$$y=\frac{11}{5}$$

Ordeztu \frac{11}{5} y balioarekin 2x+4y=10 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x+4\times \frac{11}{5}=10$$

Egin 4 bider \frac{11}{5}.

$$2x+\frac{44}{5}=10$$

Egin ken \frac{44}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=\frac{6}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{3}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{11}{5}$$