Resolver {l}{5x+3y-4=34}{5y-3x-18=34}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y - 4 = 34 } \\ { 5 y - 3 x - 18 = 34 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1$$

$$y=11$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x+3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x+3y-4=34$$

Gehitu 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x+3y=38$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=-3y+38$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+38\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider -3y+38.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}$$

Ordeztu \frac{-3y+38}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-3x+5y-18=34).

$$-3\left(-\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}\right)+5y-18=34$$

Egin -3 bider \frac{-3y+38}{5}.

$$\frac{9}{5}y-\frac{114}{5}+5y-18=34$$

Gehitu \frac{9y}{5} eta 5y.

$$\frac{34}{5}y-\frac{114}{5}-18=34$$

Gehitu -\frac{114}{5} eta -18.

$$\frac{34}{5}y-\frac{204}{5}=34$$

Gehitu \frac{204}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{34}{5}y=\frac{374}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{34}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=11$$

Ordeztu 11 y balioarekin x=-\frac{3}{5}y+\frac{38}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{5}\times 11+\frac{38}{5}$$

Egin -\frac{3}{5} bider 11.

$$x=\frac{-33+38}{5}$$

Gehitu \frac{38}{5} eta -\frac{33}{5} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=11$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x+3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&3\\-3&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{5\times 5-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{5\times 5-3\left(-3\right)}&\frac{5}{5\times 5-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{34}&-\frac{3}{34}\\\frac{3}{34}&\frac{5}{34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{34}\times 38-\frac{3}{34}\times 52\\\frac{3}{34}\times 38+\frac{5}{34}\times 52\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=1,y=11$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x+3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

5x eta -3x berdintzeko, biderkatu -3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-3\times 5x-3\times 3y-3\left(-4\right)=-3\times 34,5\left(-3\right)x+5\times 5y+5\left(-18\right)=5\times 34$$

Sinplifikatu.

$$-15x-9y+12=-102,-15x+25y-90=170$$

Egin -15x+25y-90=170 ken -15x-9y+12=-102 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-15x+15x-9y-25y+12+90=-102-170$$

Gehitu -15x eta 15x. Sinplifikatu egiten dira -15x eta 15x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-9y-25y+12+90=-102-170$$

Gehitu -9y eta -25y.

$$-34y+12+90=-102-170$$

Gehitu 12 eta 90.

$$-34y+102=-102-170$$

Gehitu -102 eta -170.

$$-34y+102=-272$$

Egin ken 102 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-34y=-374$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -34 balioarekin.

$$y=11$$

Ordeztu 11 y balioarekin -3x+5y-18=34 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-3x+5\times 11-18=34$$

Egin 5 bider 11.

$$-3x+55-18=34$$

Gehitu 55 eta -18.

$$-3x+37=34$$

Egin ken 37 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3x=-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=11$$