Resolver {l}{5x+3y=6}{2x+7y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 6 } \\ { 2 x + 7 y = 9 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{15}{29}\approx 0.517241379$$

$$y = \frac{33}{29} = 1\frac{4}{29} \approx 1.137931034$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x+3y=6,2x+7y=9$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x+3y=6$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=-3y+6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+6\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider -3y+6.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}$$

Ordeztu \frac{-3y+6}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+7y=9).

$$2\left(-\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}\right)+7y=9$$

Egin 2 bider \frac{-3y+6}{5}.

$$-\frac{6}{5}y+\frac{12}{5}+7y=9$$

Gehitu -\frac{6y}{5} eta 7y.

$$\frac{29}{5}y+\frac{12}{5}=9$$

Egin ken \frac{12}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{29}{5}y=\frac{33}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{29}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{33}{29}$$

Ordeztu \frac{33}{29} y balioarekin x=-\frac{3}{5}y+\frac{6}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{33}{29}+\frac{6}{5}$$

Egin -\frac{3}{5} bider \frac{33}{29}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{99}{145}+\frac{6}{5}$$

Gehitu \frac{6}{5} eta -\frac{99}{145} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{15}{29}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{15}{29},y=\frac{33}{29}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x+3y=6,2x+7y=9$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-3\times 2}&-\frac{3}{5\times 7-3\times 2}\\-\frac{2}{5\times 7-3\times 2}&\frac{5}{5\times 7-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{29}&-\frac{3}{29}\\-\frac{2}{29}&\frac{5}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{29}\times 6-\frac{3}{29}\times 9\\-\frac{2}{29}\times 6+\frac{5}{29}\times 9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{29}\\\frac{33}{29}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{15}{29},y=\frac{33}{29}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x+3y=6,2x+7y=9$$

5x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 5x+2\times 3y=2\times 6,5\times 2x+5\times 7y=5\times 9$$

Sinplifikatu.

$$10x+6y=12,10x+35y=45$$

Egin 10x+35y=45 ken 10x+6y=12 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$10x-10x+6y-35y=12-45$$

Gehitu 10x eta -10x. Sinplifikatu egiten dira 10x eta -10x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$6y-35y=12-45$$

Gehitu 6y eta -35y.

$$-29y=12-45$$

Gehitu 12 eta -45.

$$-29y=-33$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -29 balioarekin.

$$y=\frac{33}{29}$$

Ordeztu \frac{33}{29} y balioarekin 2x+7y=9 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x+7\times \frac{33}{29}=9$$

Egin 7 bider \frac{33}{29}.

$$2x+\frac{231}{29}=9$$

Egin ken \frac{231}{29} ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=\frac{30}{29}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{15}{29}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{15}{29},y=\frac{33}{29}$$