Resolver {l}{5x+3y=2}{-3x+12y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 2 } \\ { - 3 x + 12 y = 0 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{8}{23}\approx 0.347826087$$

$$y=\frac{2}{23}\approx 0.086956522$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x+3y=2,-3x+12y=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x+3y=2$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=-3y+2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+2\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider -3y+2.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}$$

Ordeztu \frac{-3y+2}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-3x+12y=0).

$$-3\left(-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}\right)+12y=0$$

Egin -3 bider \frac{-3y+2}{5}.

$$\frac{9}{5}y-\frac{6}{5}+12y=0$$

Gehitu \frac{9y}{5} eta 12y.

$$\frac{69}{5}y-\frac{6}{5}=0$$

Gehitu \frac{6}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{69}{5}y=\frac{6}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{69}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{2}{23}$$

Ordeztu \frac{2}{23} y balioarekin x=-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{2}{23}+\frac{2}{5}$$

Egin -\frac{3}{5} bider \frac{2}{23}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{6}{115}+\frac{2}{5}$$

Gehitu \frac{2}{5} eta -\frac{6}{115} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{8}{23}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{8}{23},y=\frac{2}{23}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x+3y=2,-3x+12y=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{5\times 12-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{5\times 12-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{5\times 12-3\left(-3\right)}&\frac{5}{5\times 12-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{23}&-\frac{1}{23}\\\frac{1}{23}&\frac{5}{69}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{23}\times 2\\\frac{1}{23}\times 2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{23}\\\frac{2}{23}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{8}{23},y=\frac{2}{23}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x+3y=2,-3x+12y=0$$

5x eta -3x berdintzeko, biderkatu -3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-3\times 5x-3\times 3y=-3\times 2,5\left(-3\right)x+5\times 12y=0$$

Sinplifikatu.

$$-15x-9y=-6,-15x+60y=0$$

Egin -15x+60y=0 ken -15x-9y=-6 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-15x+15x-9y-60y=-6$$

Gehitu -15x eta 15x. Sinplifikatu egiten dira -15x eta 15x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-9y-60y=-6$$

Gehitu -9y eta -60y.

$$-69y=-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -69 balioarekin.

$$y=\frac{2}{23}$$

Ordeztu \frac{2}{23} y balioarekin -3x+12y=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-3x+12\times \frac{2}{23}=0$$

Egin 12 bider \frac{2}{23}.

$$-3x+\frac{24}{23}=0$$

Egin ken \frac{24}{23} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3x=-\frac{24}{23}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$x=\frac{8}{23}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{8}{23},y=\frac{2}{23}$$