Resolver {l}{5x+2y=6}{9x+2y=22}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 6 } \\ { 9 x + 2 y = 22 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=4$$

$$y=-7$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x+2y=6,9x+2y=22$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x+2y=6$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=-2y+6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+6\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider -2y+6.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{6}{5}$$

Ordeztu \frac{-2y+6}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (9x+2y=22).

$$9\left(-\frac{2}{5}y+\frac{6}{5}\right)+2y=22$$

Egin 9 bider \frac{-2y+6}{5}.

$$-\frac{18}{5}y+\frac{54}{5}+2y=22$$

Gehitu -\frac{18y}{5} eta 2y.

$$-\frac{8}{5}y+\frac{54}{5}=22$$

Egin ken \frac{54}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{8}{5}y=\frac{56}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{8}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-7$$

Ordeztu -7 y balioarekin x=-\frac{2}{5}y+\frac{6}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{2}{5}\left(-7\right)+\frac{6}{5}$$

Egin -\frac{2}{5} bider -7.

$$x=\frac{14+6}{5}$$

Gehitu \frac{6}{5} eta \frac{14}{5} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=4,y=-7$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x+2y=6,9x+2y=22$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-2\times 9}&-\frac{2}{5\times 2-2\times 9}\\-\frac{9}{5\times 2-2\times 9}&\frac{5}{5\times 2-2\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{9}{8}&-\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 6+\frac{1}{4}\times 22\\\frac{9}{8}\times 6-\frac{5}{8}\times 22\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-7\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=4,y=-7$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x+2y=6,9x+2y=22$$

Egin 9x+2y=22 ken 5x+2y=6 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$5x-9x+2y-2y=6-22$$

Gehitu 2y eta -2y. Sinplifikatu egiten dira 2y eta -2y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$5x-9x=6-22$$

Gehitu 5x eta -9x.

$$-4x=6-22$$

Gehitu 6 eta -22.

$$-4x=-16$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$x=4$$

Ordeztu 4 x balioarekin 9x+2y=22 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$9\times 4+2y=22$$

Egin 9 bider 4.

$$36+2y=22$$

Egin ken 36 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y=-14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=-7$$

Ebatzi da sistema.

$$x=4,y=-7$$