Resolver {l}{5x+2y=16}{x-3y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 16 } \\ { x - 3 y = 10 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=4$$

$$y=-2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x+2y=16,x-3y=10$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x+2y=16$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=-2y+16$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+16\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider -2y+16.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}$$

Ordeztu \frac{-2y+16}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (x-3y=10).

$$-\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}-3y=10$$

Gehitu -\frac{2y}{5} eta -3y.

$$-\frac{17}{5}y+\frac{16}{5}=10$$

Egin ken \frac{16}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{17}{5}y=\frac{34}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{17}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin x=-\frac{2}{5}y+\frac{16}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{2}{5}\left(-2\right)+\frac{16}{5}$$

Egin -\frac{2}{5} bider -2.

$$x=\frac{4+16}{5}$$

Gehitu \frac{16}{5} eta \frac{4}{5} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=4,y=-2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x+2y=16,x-3y=10$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&2\\1&-3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-2}&-\frac{2}{5\left(-3\right)-2}\\-\frac{1}{5\left(-3\right)-2}&\frac{5}{5\left(-3\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}&\frac{2}{17}\\\frac{1}{17}&-\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}\times 16+\frac{2}{17}\times 10\\\frac{1}{17}\times 16-\frac{5}{17}\times 10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=4,y=-2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x+2y=16,x-3y=10$$

5x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5x+2y=16,5x+5\left(-3\right)y=5\times 10$$

Sinplifikatu.

$$5x+2y=16,5x-15y=50$$

Egin 5x-15y=50 ken 5x+2y=16 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$5x-5x+2y+15y=16-50$$

Gehitu 5x eta -5x. Sinplifikatu egiten dira 5x eta -5x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$2y+15y=16-50$$

Gehitu 2y eta 15y.

$$17y=16-50$$

Gehitu 16 eta -50.

$$17y=-34$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 17 balioarekin.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin x-3y=10 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x-3\left(-2\right)=10$$

Egin -3 bider -2.

$$x+6=10$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=4,y=-2$$