Resolver {l}{5x+(3y-2)=0}{x+y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + ( 3 y - 2 ) = 0 } \\ { x + y = 10 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-14$$

$$y=24$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x+3y-2=0,x+y=10$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x+3y-2=0$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x+3y=2$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=-3y+2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+2\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider -3y+2.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}$$

Ordeztu \frac{-3y+2}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+y=10).

$$-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}+y=10$$

Gehitu -\frac{3y}{5} eta y.

$$\frac{2}{5}y+\frac{2}{5}=10$$

Egin ken \frac{2}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{2}{5}y=\frac{48}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{2}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=24$$

Ordeztu 24 y balioarekin x=-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{5}\times 24+\frac{2}{5}$$

Egin -\frac{3}{5} bider 24.

$$x=\frac{-72+2}{5}$$

Gehitu \frac{2}{5} eta -\frac{72}{5} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-14$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-14,y=24$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x+3y-2=0,x+y=10$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-3}&-\frac{3}{5-3}\\-\frac{1}{5-3}&\frac{5}{5-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 2-\frac{3}{2}\times 10\\-\frac{1}{2}\times 2+\frac{5}{2}\times 10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\24\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-14,y=24$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x+3y-2=0,x+y=10$$

5x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5x+3y-2=0,5x+5y=5\times 10$$

Sinplifikatu.

$$5x+3y-2=0,5x+5y=50$$

Egin 5x+5y=50 ken 5x+3y-2=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$5x-5x+3y-5y-2=-50$$

Gehitu 5x eta -5x. Sinplifikatu egiten dira 5x eta -5x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$3y-5y-2=-50$$

Gehitu 3y eta -5y.

$$-2y-2=-50$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2y=-48$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$y=24$$

Ordeztu 24 y balioarekin x+y=10 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x+24=10$$

Egin ken 24 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-14$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-14,y=24$$