Resolver {l}{5u+x=-10}{3u+3x=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 u + x = - 10 } \\ { 3 u + 3 x = 0 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: u, x

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$u = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5u+x=-10,3u+3x=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi u. Horretarako, isolatu u berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5u+x=-10$$

Egin ken x ekuazioaren bi aldeetan.

$$5u=-x-10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$u=\frac{1}{5}\left(-x-10\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider -x-10.

$$u=-\frac{1}{5}x-2$$

Ordeztu -\frac{x}{5}-2 balioa u balioarekin beste ekuazioan (3u+3x=0).

$$3\left(-\frac{1}{5}x-2\right)+3x=0$$

Egin 3 bider -\frac{x}{5}-2.

$$-\frac{3}{5}x-6+3x=0$$

Gehitu -\frac{3x}{5} eta 3x.

$$\frac{12}{5}x-6=0$$

Gehitu 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{12}{5}x=6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{12}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=\frac{5}{2}$$

Ordeztu \frac{5}{2} x balioarekin u=-\frac{1}{5}x-2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, u ebatz dezakezu zuzenean.

$$u=-\frac{1}{5}\times \frac{5}{2}-2$$

Egin -\frac{1}{5} bider \frac{5}{2}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$u=-\frac{1}{2}-2$$

Gehitu -2 eta -\frac{1}{2}.

$$u=-\frac{5}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$u=-\frac{5}{2},x=\frac{5}{2}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5u+x=-10,3u+3x=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-3}&-\frac{1}{5\times 3-3}\\-\frac{3}{5\times 3-3}&\frac{5}{5\times 3-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{12}\\-\frac{1}{4}&\frac{5}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-10\right)\\-\frac{1}{4}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Atera u eta x matrize-elementuak.

$$u=-\frac{5}{2},x=\frac{5}{2}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5u+x=-10,3u+3x=0$$

5u eta 3u berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 5u+3x=3\left(-10\right),5\times 3u+5\times 3x=0$$

Sinplifikatu.

$$15u+3x=-30,15u+15x=0$$

Egin 15u+15x=0 ken 15u+3x=-30 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$15u-15u+3x-15x=-30$$

Gehitu 15u eta -15u. Sinplifikatu egiten dira 15u eta -15u. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$3x-15x=-30$$

Gehitu 3x eta -15x.

$$-12x=-30$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -12 balioarekin.

$$x=\frac{5}{2}$$

Ordeztu \frac{5}{2} x balioarekin 3u+3x=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, u ebatz dezakezu zuzenean.

$$3u+3\times \frac{5}{2}=0$$

Egin 3 bider \frac{5}{2}.

$$3u+\frac{15}{2}=0$$

Egin ken \frac{15}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$3u=-\frac{15}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$u=-\frac{5}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$u=-\frac{5}{2},x=\frac{5}{2}$$