Resolver {l}{5b+c=8}{4b+4c=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 b + c = 8 } \\ { 4 b + 4 c = 8 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: b, c

$$b = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$c=\frac{1}{2}=0.5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5b+c=8,4b+4c=8$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi b. Horretarako, isolatu b berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5b+c=8$$

Egin ken c ekuazioaren bi aldeetan.

$$5b=-c+8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$b=\frac{1}{5}\left(-c+8\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider -c+8.

$$b=-\frac{1}{5}c+\frac{8}{5}$$

Ordeztu \frac{-c+8}{5} balioa b balioarekin beste ekuazioan (4b+4c=8).

$$4\left(-\frac{1}{5}c+\frac{8}{5}\right)+4c=8$$

Egin 4 bider \frac{-c+8}{5}.

$$-\frac{4}{5}c+\frac{32}{5}+4c=8$$

Gehitu -\frac{4c}{5} eta 4c.

$$\frac{16}{5}c+\frac{32}{5}=8$$

Egin ken \frac{32}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{16}{5}c=\frac{8}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{16}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$c=\frac{1}{2}$$

Ordeztu \frac{1}{2} c balioarekin b=-\frac{1}{5}c+\frac{8}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, b ebatz dezakezu zuzenean.

$$b=-\frac{1}{5}\times \frac{1}{2}+\frac{8}{5}$$

Egin -\frac{1}{5} bider \frac{1}{2}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$b=-\frac{1}{10}+\frac{8}{5}$$

Gehitu \frac{8}{5} eta -\frac{1}{10} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$b=\frac{3}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$b=\frac{3}{2},c=\frac{1}{2}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5b+c=8,4b+4c=8$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-4}&-\frac{1}{5\times 4-4}\\-\frac{4}{5\times 4-4}&\frac{5}{5\times 4-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{16}\\-\frac{1}{4}&\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 8-\frac{1}{16}\times 8\\-\frac{1}{4}\times 8+\frac{5}{16}\times 8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Atera b eta c matrize-elementuak.

$$b=\frac{3}{2},c=\frac{1}{2}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5b+c=8,4b+4c=8$$

5b eta 4b berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4\times 5b+4c=4\times 8,5\times 4b+5\times 4c=5\times 8$$

Sinplifikatu.

$$20b+4c=32,20b+20c=40$$

Egin 20b+20c=40 ken 20b+4c=32 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$20b-20b+4c-20c=32-40$$

Gehitu 20b eta -20b. Sinplifikatu egiten dira 20b eta -20b. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$4c-20c=32-40$$

Gehitu 4c eta -20c.

$$-16c=32-40$$

Gehitu 32 eta -40.

$$-16c=-8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -16 balioarekin.

$$c=\frac{1}{2}$$

Ordeztu \frac{1}{2} c balioarekin 4b+4c=8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, b ebatz dezakezu zuzenean.

$$4b+4\times \frac{1}{2}=8$$

Egin 4 bider \frac{1}{2}.

$$4b+2=8$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4b=6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$b=\frac{3}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$b=\frac{3}{2},c=\frac{1}{2}$$