Resolver {l}{5a+3b=5}{4a+7b=27}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 a + 3 b = 5 } \\ { 4 a + 7 b = 27 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: a, b

$$a=-2$$

$$b=5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5a+3b=5,4a+7b=27$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi a. Horretarako, isolatu a berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5a+3b=5$$

Egin ken 3b ekuazioaren bi aldeetan.

$$5a=-3b+5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$a=\frac{1}{5}\left(-3b+5\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider -3b+5.

$$a=-\frac{3}{5}b+1$$

Ordeztu -\frac{3b}{5}+1 balioa a balioarekin beste ekuazioan (4a+7b=27).

$$4\left(-\frac{3}{5}b+1\right)+7b=27$$

Egin 4 bider -\frac{3b}{5}+1.

$$-\frac{12}{5}b+4+7b=27$$

Gehitu -\frac{12b}{5} eta 7b.

$$\frac{23}{5}b+4=27$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{23}{5}b=23$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{23}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$b=5$$

Ordeztu 5 b balioarekin a=-\frac{3}{5}b+1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$a=-\frac{3}{5}\times 5+1$$

Egin -\frac{3}{5} bider 5.

$$a=-3+1$$

Gehitu 1 eta -3.

$$a=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$a=-2,b=5$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5a+3b=5,4a+7b=27$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&3\\4&7\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-3\times 4}&-\frac{3}{5\times 7-3\times 4}\\-\frac{4}{5\times 7-3\times 4}&\frac{5}{5\times 7-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}&-\frac{3}{23}\\-\frac{4}{23}&\frac{5}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}\times 5-\frac{3}{23}\times 27\\-\frac{4}{23}\times 5+\frac{5}{23}\times 27\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\5\end{matrix}\right)$$

Atera a eta b matrize-elementuak.

$$a=-2,b=5$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5a+3b=5,4a+7b=27$$

5a eta 4a berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4\times 5a+4\times 3b=4\times 5,5\times 4a+5\times 7b=5\times 27$$

Sinplifikatu.

$$20a+12b=20,20a+35b=135$$

Egin 20a+35b=135 ken 20a+12b=20 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$20a-20a+12b-35b=20-135$$

Gehitu 20a eta -20a. Sinplifikatu egiten dira 20a eta -20a. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$12b-35b=20-135$$

Gehitu 12b eta -35b.

$$-23b=20-135$$

Gehitu 20 eta -135.

$$-23b=-115$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -23 balioarekin.

$$b=5$$

Ordeztu 5 b balioarekin 4a+7b=27 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$4a+7\times 5=27$$

Egin 7 bider 5.

$$4a+35=27$$

Egin ken 35 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4a=-8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$a=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$a=-2,b=5$$