Resolver {l}{5a+25b=99}{25a+165b=523}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 a + 25 b = 99 } \\ { 25 a + 165 b = 523 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: a, b

$$a = \frac{163}{10} = 16\frac{3}{10} = 16.3$$

$$b=\frac{7}{10}=0.7$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5a+25b=99,25a+165b=523$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi a. Horretarako, isolatu a berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5a+25b=99$$

Egin ken 25b ekuazioaren bi aldeetan.

$$5a=-25b+99$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$a=\frac{1}{5}\left(-25b+99\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider -25b+99.

$$a=-5b+\frac{99}{5}$$

Ordeztu -5b+\frac{99}{5} balioa a balioarekin beste ekuazioan (25a+165b=523).

$$25\left(-5b+\frac{99}{5}\right)+165b=523$$

Egin 25 bider -5b+\frac{99}{5}.

$$-125b+495+165b=523$$

Gehitu -125b eta 165b.

$$40b+495=523$$

Egin ken 495 ekuazioaren bi aldeetan.

$$40b=28$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 40 balioarekin.

$$b=\frac{7}{10}$$

Ordeztu \frac{7}{10} b balioarekin a=-5b+\frac{99}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$a=-5\times \frac{7}{10}+\frac{99}{5}$$

Egin -5 bider \frac{7}{10}.

$$a=-\frac{7}{2}+\frac{99}{5}$$

Gehitu \frac{99}{5} eta -\frac{7}{2} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$a=\frac{163}{10}$$

Ebatzi da sistema.

$$a=\frac{163}{10},b=\frac{7}{10}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5a+25b=99,25a+165b=523$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&25\\25&165\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}99\\523\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&25\\25&165\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&25\\25&165\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&25\\25&165\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&25\\25&165\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}99\\523\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&25\\25&165\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}99\\523\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&25\\25&165\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}99\\523\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{165}{5\times 165-25\times 25}&-\frac{25}{5\times 165-25\times 25}\\-\frac{25}{5\times 165-25\times 25}&\frac{5}{5\times 165-25\times 25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}99\\523\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{33}{40}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{8}&\frac{1}{40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}99\\523\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{33}{40}\times 99-\frac{1}{8}\times 523\\-\frac{1}{8}\times 99+\frac{1}{40}\times 523\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{163}{10}\\\frac{7}{10}\end{matrix}\right)$$

Atera a eta b matrize-elementuak.

$$a=\frac{163}{10},b=\frac{7}{10}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5a+25b=99,25a+165b=523$$

5a eta 25a berdintzeko, biderkatu 25 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$25\times 5a+25\times 25b=25\times 99,5\times 25a+5\times 165b=5\times 523$$

Sinplifikatu.

$$125a+625b=2475,125a+825b=2615$$

Egin 125a+825b=2615 ken 125a+625b=2475 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$125a-125a+625b-825b=2475-2615$$

Gehitu 125a eta -125a. Sinplifikatu egiten dira 125a eta -125a. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$625b-825b=2475-2615$$

Gehitu 625b eta -825b.

$$-200b=2475-2615$$

Gehitu 2475 eta -2615.

$$-200b=-140$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -200 balioarekin.

$$b=\frac{7}{10}$$

Ordeztu \frac{7}{10} b balioarekin 25a+165b=523 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$25a+165\times \frac{7}{10}=523$$

Egin 165 bider \frac{7}{10}.

$$25a+\frac{231}{2}=523$$

Egin ken \frac{231}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$25a=\frac{815}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 25 balioarekin.

$$a=\frac{163}{10}$$

Ebatzi da sistema.

$$a=\frac{163}{10},b=\frac{7}{10}$$