Resolver {l}{5(x+2)=4y}{3(y-4)=6x}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 ( x + 2 ) = 4 y } \\ { 3 ( y - 4 ) = 6 x } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-2$$

$$y=0$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 5 eta x+2 biderkatzeko.

$$5x+10=4y$$

Kendu 4y bi aldeetatik.

$$5x+10-4y=0$$

Kendu 10 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$5x-4y=-10$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta y-4 biderkatzeko.

$$3y-12=6x$$

Kendu 6x bi aldeetatik.

$$3y-12-6x=0$$

Gehitu 12 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$3y-6x=12$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x-4y=-10,-6x+3y=12$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x-4y=-10$$

Gehitu 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=4y-10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-10\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider 4y-10.

$$x=\frac{4}{5}y-2$$

Ordeztu \frac{4y}{5}-2 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-6x+3y=12).

$$-6\left(\frac{4}{5}y-2\right)+3y=12$$

Egin -6 bider \frac{4y}{5}-2.

$$-\frac{24}{5}y+12+3y=12$$

Gehitu -\frac{24y}{5} eta 3y.

$$-\frac{9}{5}y+12=12$$

Egin ken 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{9}{5}y=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{9}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=0$$

Ordeztu 0 y balioarekin x=\frac{4}{5}y-2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-2,y=0$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 5 eta x+2 biderkatzeko.

$$5x+10=4y$$

Kendu 4y bi aldeetatik.

$$5x+10-4y=0$$

Kendu 10 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$5x-4y=-10$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta y-4 biderkatzeko.

$$3y-12=6x$$

Kendu 6x bi aldeetatik.

$$3y-12-6x=0$$

Gehitu 12 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$3y-6x=12$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x-4y=-10,-6x+3y=12$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}\\-\frac{-6}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{4}{9}\\-\frac{2}{3}&-\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-10\right)-\frac{4}{9}\times 12\\-\frac{2}{3}\left(-10\right)-\frac{5}{9}\times 12\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\0\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-2,y=0$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 5 eta x+2 biderkatzeko.

$$5x+10=4y$$

Kendu 4y bi aldeetatik.

$$5x+10-4y=0$$

Kendu 10 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$5x-4y=-10$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta y-4 biderkatzeko.

$$3y-12=6x$$

Kendu 6x bi aldeetatik.

$$3y-12-6x=0$$

Gehitu 12 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$3y-6x=12$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x-4y=-10,-6x+3y=12$$

5x eta -6x berdintzeko, biderkatu -6 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-6\times 5x-6\left(-4\right)y=-6\left(-10\right),5\left(-6\right)x+5\times 3y=5\times 12$$

Sinplifikatu.

$$-30x+24y=60,-30x+15y=60$$

Egin -30x+15y=60 ken -30x+24y=60 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-30x+30x+24y-15y=60-60$$

Gehitu -30x eta 30x. Sinplifikatu egiten dira -30x eta 30x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$24y-15y=60-60$$

Gehitu 24y eta -15y.

$$9y=60-60$$

Gehitu 60 eta -60.

$$9y=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$y=0$$

Ordeztu 0 y balioarekin -6x+3y=12 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-6x=12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -6 balioarekin.

$$x=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-2,y=0$$