Resolver {l}{5^1x+0.3y=5}{x+1/8y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 ^ { 1 } x + 0.3 y = 5 } \\ { x + \frac { 1 } { 8 } y = 7 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = -\frac{59}{13} = -4\frac{7}{13} \approx -4.538461538$$

$$y = \frac{1200}{13} = 92\frac{4}{13} \approx 92.307692308$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x+0.3y=5,x+\frac{1}{8}y=7$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x+0.3y=5$$

Egin ken \frac{3y}{10} ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=-0.3y+5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(-0.3y+5\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider -\frac{3y}{10}+5.

$$x=-\frac{3}{50}y+1$$

Ordeztu -\frac{3y}{50}+1 balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+\frac{1}{8}y=7).

$$-\frac{3}{50}y+1+\frac{1}{8}y=7$$

Gehitu -\frac{3y}{50} eta \frac{y}{8}.

$$\frac{13}{200}y+1=7$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{13}{200}y=6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{13}{200} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{1200}{13}$$

Ordeztu \frac{1200}{13} y balioarekin x=-\frac{3}{50}y+1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{50}\times \frac{1200}{13}+1$$

Egin -\frac{3}{50} bider \frac{1200}{13}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{72}{13}+1$$

Gehitu 1 eta -\frac{72}{13}.

$$x=-\frac{59}{13}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{59}{13},y=\frac{1200}{13}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x+0.3y=5,x+\frac{1}{8}y=7$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&0.3\\1&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&0.3\\1&\frac{1}{8}\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&0.3\\1&\frac{1}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&0.3\\1&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&0.3\\1&\frac{1}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&0.3\\1&\frac{1}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&0.3\\1&\frac{1}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{8}}{5\times \frac{1}{8}-0.3}&-\frac{0.3}{5\times \frac{1}{8}-0.3}\\-\frac{1}{5\times \frac{1}{8}-0.3}&\frac{5}{5\times \frac{1}{8}-0.3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}&-\frac{12}{13}\\-\frac{40}{13}&\frac{200}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}\times 5-\frac{12}{13}\times 7\\-\frac{40}{13}\times 5+\frac{200}{13}\times 7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{59}{13}\\\frac{1200}{13}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{59}{13},y=\frac{1200}{13}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x+0.3y=5,x+\frac{1}{8}y=7$$

5x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5x+0.3y=5,5x+5\times \frac{1}{8}y=5\times 7$$

Sinplifikatu.

$$5x+0.3y=5,5x+\frac{5}{8}y=35$$

Egin 5x+\frac{5}{8}y=35 ken 5x+0.3y=5 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$5x-5x+0.3y-\frac{5}{8}y=5-35$$

Gehitu 5x eta -5x. Sinplifikatu egiten dira 5x eta -5x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$0.3y-\frac{5}{8}y=5-35$$

Gehitu \frac{3y}{10} eta -\frac{5y}{8}.

$$-\frac{13}{40}y=5-35$$

Gehitu 5 eta -35.

$$-\frac{13}{40}y=-30$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{13}{40} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{1200}{13}$$

Ordeztu \frac{1200}{13} y balioarekin x+\frac{1}{8}y=7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x+\frac{1}{8}\times \frac{1200}{13}=7$$

Egin \frac{1}{8} bider \frac{1200}{13}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x+\frac{150}{13}=7$$

Egin ken \frac{150}{13} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-\frac{59}{13}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{59}{13},y=\frac{1200}{13}$$