Resolver {l}{45+.25x=y}{35+.30x=y}

$$\left. \begin{array} { l } { 45 + .25 x = y } \\ { 35 + .30 x = y } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=200$$

$$y=95$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$45+0.25x-y=0$$

Kendu 45 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$0.25x-y=-45$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$35+0.3x-y=0$$

Kendu 35 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$0.3x-y=-35$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$0.25x-y=-45,0.3x-y=-35$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$0.25x-y=-45$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$0.25x=y-45$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=4\left(y-45\right)$$

Egin 4 bider y-45.

$$x=4y-180$$

Ordeztu -180+4y balioa x balioarekin beste ekuazioan (0.3x-y=-35).

$$0.3\left(4y-180\right)-y=-35$$

Egin 0.3 bider -180+4y.

$$1.2y-54-y=-35$$

Gehitu \frac{6y}{5} eta -y.

$$0.2y-54=-35$$

Gehitu 54 ekuazioaren bi aldeetan.

$$0.2y=19$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$y=95$$

Ordeztu 95 y balioarekin x=4y-180 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=4\times 95-180$$

Egin 4 bider 95.

$$x=380-180$$

Gehitu -180 eta 380.

$$x=200$$

Ebatzi da sistema.

$$x=200,y=95$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$45+0.25x-y=0$$

Kendu 45 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$0.25x-y=-45$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$35+0.3x-y=0$$

Kendu 35 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$0.3x-y=-35$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$0.25x-y=-45,0.3x-y=-35$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{0.25\left(-1\right)-\left(-0.3\right)}&-\frac{-1}{0.25\left(-1\right)-\left(-0.3\right)}\\-\frac{0.3}{0.25\left(-1\right)-\left(-0.3\right)}&\frac{0.25}{0.25\left(-1\right)-\left(-0.3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-20&20\\-6&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-20\left(-45\right)+20\left(-35\right)\\-6\left(-45\right)+5\left(-35\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}200\\95\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=200,y=95$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$45+0.25x-y=0$$

Kendu 45 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$0.25x-y=-45$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$35+0.3x-y=0$$

Kendu 35 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$0.3x-y=-35$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$0.25x-y=-45,0.3x-y=-35$$

Egin 0.3x-y=-35 ken 0.25x-y=-45 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$0.25x-0.3x-y+y=-45+35$$

Gehitu -y eta y. Sinplifikatu egiten dira -y eta y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$0.25x-0.3x=-45+35$$

Gehitu \frac{x}{4} eta -\frac{3x}{10}.

$$-0.05x=-45+35$$

Gehitu -45 eta 35.

$$-0.05x=-10$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak -20 balioarekin.

$$x=200$$

Ordeztu 200 x balioarekin 0.3x-y=-35 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$0.3\times 200-y=-35$$

Egin 0.3 bider 200.

$$60-y=-35$$

Egin ken 60 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-y=-95$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$y=95$$

Ebatzi da sistema.

$$x=200,y=95$$