Resolver {l}{42x+5y=6}{4x+7y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 42 x + 5 y = 6 } \\ { 4 x + 7 y = 8 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{1}{137}\approx 0.00729927$$

$$y = \frac{156}{137} = 1\frac{19}{137} \approx 1.138686131$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$42x+5y=6,4x+7y=8$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$42x+5y=6$$

Egin ken 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$42x=-5y+6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 42 balioarekin.

$$x=\frac{1}{42}\left(-5y+6\right)$$

Egin \frac{1}{42} bider -5y+6.

$$x=-\frac{5}{42}y+\frac{1}{7}$$

Ordeztu -\frac{5y}{42}+\frac{1}{7} balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x+7y=8).

$$4\left(-\frac{5}{42}y+\frac{1}{7}\right)+7y=8$$

Egin 4 bider -\frac{5y}{42}+\frac{1}{7}.

$$-\frac{10}{21}y+\frac{4}{7}+7y=8$$

Gehitu -\frac{10y}{21} eta 7y.

$$\frac{137}{21}y+\frac{4}{7}=8$$

Egin ken \frac{4}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{137}{21}y=\frac{52}{7}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{137}{21} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{156}{137}$$

Ordeztu \frac{156}{137} y balioarekin x=-\frac{5}{42}y+\frac{1}{7} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{5}{42}\times \frac{156}{137}+\frac{1}{7}$$

Egin -\frac{5}{42} bider \frac{156}{137}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{130}{959}+\frac{1}{7}$$

Gehitu \frac{1}{7} eta -\frac{130}{959} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{1}{137}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{1}{137},y=\frac{156}{137}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$42x+5y=6,4x+7y=8$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}42&5\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}42&5\\4&7\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}42&5\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42&5\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}42&5\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}42&5\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}42&5\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{42\times 7-5\times 4}&-\frac{5}{42\times 7-5\times 4}\\-\frac{4}{42\times 7-5\times 4}&\frac{42}{42\times 7-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{274}&-\frac{5}{274}\\-\frac{2}{137}&\frac{21}{137}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{274}\times 6-\frac{5}{274}\times 8\\-\frac{2}{137}\times 6+\frac{21}{137}\times 8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{137}\\\frac{156}{137}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{1}{137},y=\frac{156}{137}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$42x+5y=6,4x+7y=8$$

42x eta 4x berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 42 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4\times 42x+4\times 5y=4\times 6,42\times 4x+42\times 7y=42\times 8$$

Sinplifikatu.

$$168x+20y=24,168x+294y=336$$

Egin 168x+294y=336 ken 168x+20y=24 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$168x-168x+20y-294y=24-336$$

Gehitu 168x eta -168x. Sinplifikatu egiten dira 168x eta -168x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$20y-294y=24-336$$

Gehitu 20y eta -294y.

$$-274y=24-336$$

Gehitu 24 eta -336.

$$-274y=-312$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -274 balioarekin.

$$y=\frac{156}{137}$$

Ordeztu \frac{156}{137} y balioarekin 4x+7y=8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x+7\times \frac{156}{137}=8$$

Egin 7 bider \frac{156}{137}.

$$4x+\frac{1092}{137}=8$$

Egin ken \frac{1092}{137} ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=\frac{4}{137}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{137}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{1}{137},y=\frac{156}{137}$$