Resolver {l}{41x+53y=135}{53x+41y=147}

$$\left. \begin{array} { l } { 41 x + 53 y = 135 } \\ { 53 x + 41 y = 147 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=2$$

$$y=1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$41x+53y=135,53x+41y=147$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$41x+53y=135$$

Egin ken 53y ekuazioaren bi aldeetan.

$$41x=-53y+135$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 41 balioarekin.

$$x=\frac{1}{41}\left(-53y+135\right)$$

Egin \frac{1}{41} bider -53y+135.

$$x=-\frac{53}{41}y+\frac{135}{41}$$

Ordeztu \frac{-53y+135}{41} balioa x balioarekin beste ekuazioan (53x+41y=147).

$$53\left(-\frac{53}{41}y+\frac{135}{41}\right)+41y=147$$

Egin 53 bider \frac{-53y+135}{41}.

$$-\frac{2809}{41}y+\frac{7155}{41}+41y=147$$

Gehitu -\frac{2809y}{41} eta 41y.

$$-\frac{1128}{41}y+\frac{7155}{41}=147$$

Egin ken \frac{7155}{41} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{1128}{41}y=-\frac{1128}{41}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{1128}{41} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin x=-\frac{53}{41}y+\frac{135}{41} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{-53+135}{41}$$

Gehitu \frac{135}{41} eta -\frac{53}{41} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$41x+53y=135,53x+41y=147$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41}{41\times 41-53\times 53}&-\frac{53}{41\times 41-53\times 53}\\-\frac{53}{41\times 41-53\times 53}&\frac{41}{41\times 41-53\times 53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{41}{1128}&\frac{53}{1128}\\\frac{53}{1128}&-\frac{41}{1128}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{41}{1128}\times 135+\frac{53}{1128}\times 147\\\frac{53}{1128}\times 135-\frac{41}{1128}\times 147\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=2,y=1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$41x+53y=135,53x+41y=147$$

41x eta 53x berdintzeko, biderkatu 53 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 41 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$53\times 41x+53\times 53y=53\times 135,41\times 53x+41\times 41y=41\times 147$$

Sinplifikatu.

$$2173x+2809y=7155,2173x+1681y=6027$$

Egin 2173x+1681y=6027 ken 2173x+2809y=7155 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2173x-2173x+2809y-1681y=7155-6027$$

Gehitu 2173x eta -2173x. Sinplifikatu egiten dira 2173x eta -2173x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$2809y-1681y=7155-6027$$

Gehitu 2809y eta -1681y.

$$1128y=7155-6027$$

Gehitu 7155 eta -6027.

$$1128y=1128$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 1128 balioarekin.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin 53x+41y=147 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$53x+41=147$$

Egin ken 41 ekuazioaren bi aldeetan.

$$53x=106$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 53 balioarekin.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=1$$