Resolver {l}{4y-5x=-70}{x=-4y-34}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 y - 5 x = - 70 } \\ { x = - 4 y - 34 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=6$$

$$y=-10$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 4y bi aldeetan.

$$x+4y=-34$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4y-5x=-70,4y+x=-34$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4y-5x=-70$$

Gehitu 5x ekuazioaren bi aldeetan.

$$4y=5x-70$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$y=\frac{1}{4}\left(5x-70\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider -70+5x.

$$y=\frac{5}{4}x-\frac{35}{2}$$

Ordeztu -\frac{35}{2}+\frac{5x}{4} balioa y balioarekin beste ekuazioan (4y+x=-34).

$$4\left(\frac{5}{4}x-\frac{35}{2}\right)+x=-34$$

Egin 4 bider -\frac{35}{2}+\frac{5x}{4}.

$$5x-70+x=-34$$

Gehitu 5x eta x.

$$6x-70=-34$$

Gehitu 70 ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x=36$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=6$$

Ordeztu 6 x balioarekin y=\frac{5}{4}x-\frac{35}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=\frac{5}{4}\times 6-\frac{35}{2}$$

Egin \frac{5}{4} bider 6.

$$y=\frac{15-35}{2}$$

Gehitu -\frac{35}{2} eta \frac{15}{2} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y=-10$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-10,x=6$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 4y bi aldeetan.

$$x+4y=-34$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4y-5x=-70,4y+x=-34$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{4-\left(-5\times 4\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}&\frac{5}{24}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}\left(-70\right)+\frac{5}{24}\left(-34\right)\\-\frac{1}{6}\left(-70\right)+\frac{1}{6}\left(-34\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\6\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=-10,x=6$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 4y bi aldeetan.

$$x+4y=-34$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4y-5x=-70,4y+x=-34$$

Egin 4y+x=-34 ken 4y-5x=-70 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$4y-4y-5x-x=-70+34$$

Gehitu 4y eta -4y. Sinplifikatu egiten dira 4y eta -4y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-5x-x=-70+34$$

Gehitu -5x eta -x.

$$-6x=-70+34$$

Gehitu -70 eta 34.

$$-6x=-36$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -6 balioarekin.

$$x=6$$

Ordeztu 6 x balioarekin 4y+x=-34 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$4y+6=-34$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4y=-40$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$y=-10$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-10,x=6$$