Resolver {l}{4y-3x=8}{ax+4=2y}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 y - 3 x = 8 } \\ { a x + 4 = 2 y } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=0\text{, }y=2\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{4\left(y-2\right)}{3}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&a=\frac{3}{2}\end{matrix}\right.$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2y bi aldeetatik.

$$ax+4-2y=0$$

Kendu 4 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$ax-2y=-4$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4y-3x=8,-2y+ax=-4$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4y-3x=8$$

Gehitu 3x ekuazioaren bi aldeetan.

$$4y=3x+8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$y=\frac{1}{4}\left(3x+8\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider 3x+8.

$$y=\frac{3}{4}x+2$$

Ordeztu \frac{3x}{4}+2 balioa y balioarekin beste ekuazioan (-2y+ax=-4).

$$-2\left(\frac{3}{4}x+2\right)+ax=-4$$

Egin -2 bider \frac{3x}{4}+2.

$$-\frac{3}{2}x-4+ax=-4$$

Gehitu -\frac{3x}{2} eta ax.

$$\left(a-\frac{3}{2}\right)x-4=-4$$

Gehitu 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\left(a-\frac{3}{2}\right)x=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{3}{2}+a balioarekin.

$$x=0$$

Ordeztu 0 x balioarekin y=\frac{3}{4}x+2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=2$$

Ebatzi da sistema.

$$y=2,x=0$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2y bi aldeetatik.

$$ax+4-2y=0$$

Kendu 4 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$ax-2y=-4$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4y-3x=8,-2y+ax=-4$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{4}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{2\left(2a-3\right)}&\frac{3}{2\left(2a-3\right)}\\\frac{1}{2a-3}&\frac{2}{2a-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{2\left(2a-3\right)}\times 8+\frac{3}{2\left(2a-3\right)}\left(-4\right)\\\frac{1}{2a-3}\times 8+\frac{2}{2a-3}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=2,x=0$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2y bi aldeetatik.

$$ax+4-2y=0$$

Kendu 4 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$ax-2y=-4$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4y-3x=8,-2y+ax=-4$$

4y eta -2y berdintzeko, biderkatu -2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-2\times 4y-2\left(-3\right)x=-2\times 8,4\left(-2\right)y+4ax=4\left(-4\right)$$

Sinplifikatu.

$$-8y+6x=-16,-8y+4ax=-16$$

Egin -8y+4ax=-16 ken -8y+6x=-16 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-8y+8y+6x+\left(-4a\right)x=-16+16$$

Gehitu -8y eta 8y. Sinplifikatu egiten dira -8y eta 8y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$6x+\left(-4a\right)x=-16+16$$

Gehitu 6x eta -4ax.

$$\left(6-4a\right)x=-16+16$$

Gehitu -16 eta 16.

$$\left(6-4a\right)x=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6-4a balioarekin.

$$x=0$$

Ordeztu 0 x balioarekin -2y+ax=-4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$-2y=-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$y=2$$

Ebatzi da sistema.

$$y=2,x=0$$

Ebatzi: x, y

$$\left\{\begin{matrix}\\x=0\text{, }y=2\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{4\left(y-2\right)}{3}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=\frac{3}{2}\end{matrix}\right.$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2y bi aldeetatik.

$$ax+4-2y=0$$

Kendu 4 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$ax-2y=-4$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4y-3x=8,-2y+ax=-4$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4y-3x=8$$

Gehitu 3x ekuazioaren bi aldeetan.

$$4y=3x+8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$y=\frac{1}{4}\left(3x+8\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider 3x+8.

$$y=\frac{3}{4}x+2$$

Ordeztu \frac{3x}{4}+2 balioa y balioarekin beste ekuazioan (-2y+ax=-4).

$$-2\left(\frac{3}{4}x+2\right)+ax=-4$$

Egin -2 bider \frac{3x}{4}+2.

$$-\frac{3}{2}x-4+ax=-4$$

Gehitu -\frac{3x}{2} eta ax.

$$\left(a-\frac{3}{2}\right)x-4=-4$$

Gehitu 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\left(a-\frac{3}{2}\right)x=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{3}{2}+a balioarekin.

$$x=0$$

Ordeztu 0 x balioarekin y=\frac{3}{4}x+2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=2$$

Ebatzi da sistema.

$$y=2,x=0$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2y bi aldeetatik.

$$ax+4-2y=0$$

Kendu 4 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$ax-2y=-4$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4y-3x=8,-2y+ax=-4$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{4}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{2\left(2a-3\right)}&\frac{3}{2\left(2a-3\right)}\\\frac{1}{2a-3}&\frac{2}{2a-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{2\left(2a-3\right)}\times 8+\frac{3}{2\left(2a-3\right)}\left(-4\right)\\\frac{1}{2a-3}\times 8+\frac{2}{2a-3}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=2,x=0$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2y bi aldeetatik.

$$ax+4-2y=0$$

Kendu 4 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$ax-2y=-4$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4y-3x=8,-2y+ax=-4$$

4y eta -2y berdintzeko, biderkatu -2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-2\times 4y-2\left(-3\right)x=-2\times 8,4\left(-2\right)y+4ax=4\left(-4\right)$$

Sinplifikatu.

$$-8y+6x=-16,-8y+4ax=-16$$

Egin -8y+4ax=-16 ken -8y+6x=-16 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-8y+8y+6x+\left(-4a\right)x=-16+16$$

Gehitu -8y eta 8y. Sinplifikatu egiten dira -8y eta 8y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$6x+\left(-4a\right)x=-16+16$$

Gehitu 6x eta -4ax.

$$\left(6-4a\right)x=-16+16$$

Gehitu -16 eta 16.

$$\left(6-4a\right)x=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6-4a balioarekin.

$$x=0$$

Ordeztu 0 x balioarekin -2y+ax=-4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$-2y=-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$y=2$$

Ebatzi da sistema.

$$y=2,x=0$$