Resolver {l}{4x-7y=23}{6x+2y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 7 y = 23 } \\ { 6 x + 2 y = - 3 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=-3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x-7y=23,6x+2y=-3$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4x-7y=23$$

Gehitu 7y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=7y+23$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\left(7y+23\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider 7y+23.

$$x=\frac{7}{4}y+\frac{23}{4}$$

Ordeztu \frac{7y+23}{4} balioa x balioarekin beste ekuazioan (6x+2y=-3).

$$6\left(\frac{7}{4}y+\frac{23}{4}\right)+2y=-3$$

Egin 6 bider \frac{7y+23}{4}.

$$\frac{21}{2}y+\frac{69}{2}+2y=-3$$

Gehitu \frac{21y}{2} eta 2y.

$$\frac{25}{2}y+\frac{69}{2}=-3$$

Egin ken \frac{69}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{25}{2}y=-\frac{75}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{25}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-3$$

Ordeztu -3 y balioarekin x=\frac{7}{4}y+\frac{23}{4} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{7}{4}\left(-3\right)+\frac{23}{4}$$

Egin \frac{7}{4} bider -3.

$$x=\frac{-21+23}{4}$$

Gehitu \frac{23}{4} eta -\frac{21}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{1}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x-7y=23,6x+2y=-3$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-7\times 6\right)}&-\frac{-7}{4\times 2-\left(-7\times 6\right)}\\-\frac{6}{4\times 2-\left(-7\times 6\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-7\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25}&\frac{7}{50}\\-\frac{3}{25}&\frac{2}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25}\times 23+\frac{7}{50}\left(-3\right)\\-\frac{3}{25}\times 23+\frac{2}{25}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-3\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x-7y=23,6x+2y=-3$$

4x eta 6x berdintzeko, biderkatu 6 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$6\times 4x+6\left(-7\right)y=6\times 23,4\times 6x+4\times 2y=4\left(-3\right)$$

Sinplifikatu.

$$24x-42y=138,24x+8y=-12$$

Egin 24x+8y=-12 ken 24x-42y=138 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$24x-24x-42y-8y=138+12$$

Gehitu 24x eta -24x. Sinplifikatu egiten dira 24x eta -24x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-42y-8y=138+12$$

Gehitu -42y eta -8y.

$$-50y=138+12$$

Gehitu 138 eta 12.

$$-50y=150$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -50 balioarekin.

$$y=-3$$

Ordeztu -3 y balioarekin 6x+2y=-3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$6x+2\left(-3\right)=-3$$

Egin 2 bider -3.

$$6x-6=-3$$

Gehitu 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x=3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$